Информационные показатели синтеза П-систем

Информационные показатели синтеза П-систем

Элементы, образующие П-систему, могут иметь как стохастическую, так и не стохастическую природу. При этом если удовлетворение отношения R условиям рефлексивности и симметричности зависит исключительно от природы элементов, то для удовлетворения транзитивности требуется выполнение некоторых условий.

Пусть ai, aj, ak - элементы стохастической природы, i ф j; i,j,k= 1,2. п.

В качестве R для таких элементов естественно выбрать стохастическую взаимозависимость, выражаемую в терминах теории информации через условную и безусловную энтропию [3]. Очевидно, она удовлетворяет условиям рефлексивности и симметричности.

Но для удовлетворения транзитивности достаточно выполнения следующего условия:

Н (аг,а> ) lt; Н (a /ak) + Н (aj/ak), (2.1)

где Н (ai /ak), Н (aj/ak) - средние условные энтропии элементов ai и a>; Н ( ai ,a j ) - их совместная энтропия. Именно его выполнение приводит к тому, что для любых ai, ak aj є A из взаимозависимостей (рефлексивность и симметричность) at и ak, а также ak и aj, следует взаимозависимость at и aj.

Другими словами, П-система возникает, если при рассмотрении любых трех элементов такой системы информация об одном из них не настолько уменьшает сумму условных энтропий двух других, чтобы она стала меньше их совместной энтропии.

Условие (1.1) следует рассматривать как условие синтеза П-системы из стохастических элементов, для бинарных отношений между которыми выполняются аксиомы симметричности и рефлексивности.

Заметим, что совокупности элементов, которые могут вступать между собой в бинарные отношения только функциональной, или детерминированной, взаимозависимости, являются только П-системами, поскольку для них соотношение (2.1) выполняется всегда.

Покажем достаточность ограничения (2.1) для выполнения требования транзитивности зависимости между стохастическими элементами.

Допустим, что ак взаимозависима в каком-либо смысле с ai и aj, по отдельности. Тогда справедливы следующие соотношения [3]:

Н (а/ ак) lt; Н (а) и Н (aJ/ ак) lt; Н (aJX где через H (.) обозначены энтропии от аргумента (.) .

Сложим левые и правые части этих неравенств.

Н (a/ak) + Н (aJ/ak) lt; Н (ai )+ Н (aJ).

Допустим, что соотношение (1.1) выполнено. Тогда, очевидно, имеем Н ( ai,aj) lt; Н(at /ak) + Н (aJ/ak) lt; Н ( ai) +Н (aj), т. е. Н (at,aj) lt; Н (at) +Н

(aj) , что означает, что элементы ai и ai взаимозависимы. Таким образом,

Но тогда величина К= Н( a/ ak) + Н (aj/ak) - Н (at,aJ) может служить

информационным показателем синтеза П-системы.

В самом деле, если Кgt; 0, то П-система возникает, и если Кlt;0, то не возникает; i ^k ^j; i, k, j = 1,2. п.

Выясним на конкретном примере, какой содержательный смысл можно вложить в условие (1.1).

Приведем пример совокупности стохастических элементов, не являющейся П-системой, и убедимся, что соотношение (2.1) для нее не выполняется, т. е. Кlt; 0.

Рассмотрим опыт, в результате которого могут возникать следующие три случайных события: А 1 - выпадение двух очков при бросании экспериментатором правильной игральной кости левой рукой; А 2 - выпадение двух очков при бросании другой правильной игральной кости правой рукой; А 3 - выпадение хотя бы на одной кости двух очков. Бросания производятся одновременно.

Очевидно, случайные события А j и А 3, а также А 2 и А 3 зависимы, в то время как случайные события А1 и А 2 независимы ( Aj е A 3, A2 е А3 ) .

В самом деле, P ( z j= 1 ) = P ( А j+ А 2) = P ( А J + P ( А 2) - P ( А JP (

А 2) = 1/6 + 1/6 - 1/6 1/6 = 11/36.

Ясно, что совокупность этих случайных величин не образует П-

систему, так как Х и Z, а также У и Z взаимозависимы, а Х и Y независимы

Покажем, что H (X,Y) gt; H(X/Z) + H(Y/Z), т. е К lt; 0.

Н (X Y) = - Z'=1 Xli Р( X, У і ) ln Р( X, У;) =

= - 1/36 ln(1/36) - 5/6 1/6 ln (5/36) - 1/6 5/6 ln (5/36) - 5/6 5/6 ln( 25/36) = 0.910.

Н (X/ Z) = - =1 Z2=1 P(x, z;)ln P(x / z; ) =

= - 1/6 ln ( 6/11) - 5/6 1/6 ln (5/11) - 0 - 5/6 5/6 ln 1 = 0.206.

В силу симметрии задачи H(X/Z)=H(Y/Z).

H(X,Y) = 0.910; H(X/Z) + H(Y/Z) = 0.412.

Полученные результаты противоречат условию синтеза П-системы, поскольку K = - 0.412.

Вернемся к исходной задаче.

Исследуется закон распределения момента «смерти» (потери спроса) одного из товаров этой группы (не важно какого), первый для всей группы.

Например, можно говорить о группе трикотажных товаров, (производимой некоторой фирмой), состоящих из четырех наименований. Пусть это носки ( Н ), колготки ( К ), гольфы ( Г ), чулки ( Ч ). В случае «смерти» любого из членов товарной группы производитель должен принять решение об изменении ассортимента.

Пусть теперь случайные величины X, Y, Z и W характеризуют «возраст» (например, этап ЖЦ) каждого из перечисленных товаров, т.е. X - «возраст» носков, Y - колготок и т.д. Данная совокупность образует однородную группу попарно взаимосвязанных между собой товаров.

Пусть f (X,Y,Z,W) - плотность распределения вероятностей этих случайных величин. Найти эту функцию, как уже отмечалось, не представляется возможным.

Однако производителю важно знать закон распределения другой случайной величины - момента “смерти” (снятия с производства) одного из членов этой группы, первого для нее.

Обозначим его T (min ) . Зная закон распределения этой случайной величины, можно рассчитать длину жизненного цикла всей группы товаров.

Поскольку X , Y , Z , W -- непрерывные случайные величины, то условие (1.1) в явном виде выписывается следующим образом:

H (X^ X3 ) = - j j fl3(хl, X3)ln fl3(xl, x3)dx1dx3 lt;

lt; H(Xt / X2 ) = - j jx2)lnfl2(xjx2)dxldx2 -

-H(X 3/XJ = - j j f32(^ x2)ln f32 (x3 / x2 )dx3dx2 (2.2)

Мы использовали обозначения Xj, X2, X3 для любых трех элементов множества .

  • законом распределения Эрланга
  • логнормальным распределением

f ( x ) = 1/ и ( ln (x )) ( 2n)1/2 exp ( - ( ln x - a( ln x ) / a( ln x )) 2,

  • распределением со следующей плотностью

fi(xi) = 1/ek Л exP(-4xi)/1 + ^ixi, Л gt;0, xigt; ^ (2.3)

k = j x-1 exp(-xi )dxi, i = 1,2,3 (2.4)

Нетрудно проверить, что

j f (x Ж = 1 и j fij(x, xj )dxj = f i(x),

где f J( x i, X j) = 1/ек Лі Л j exp ( - 2 i x i - 2 j x j - Лі Л j xx j ) (2.5)

Назовем это распределение (1.5) обобщенным экспоненциальным распределением.

Из этих соотношений следует, что

fj(x і , x j ) * f(x) f j (x j ), і * j. (2.6)

Для логнормального и обобщенного экспоненциального распределения условие (1.6) выполняется, а для распределения Эрланга не выполняется.

Отсюда вытекает важный результат теории систем бинарного типа с отношением эквивалентности (П-систем): срок жизни каждого элемента как члена однородной группы, рассматриваемый как случайная величина, должен подчиняться обобщенному экспоненциальному

(однопараметрическому) или логнормальному (двухпараметрическому) распределению.

Срок жизни, возможно, может подчиняться еще какому-либо распределению, но выяснение этого - задача отдельных исследований.

Итак, рассматривается однородная группа товаров - группа из четырех наименований: носков (Н, будем обозначать также индексом 1) , колготок (К, индексом 2), гольфов (Г, индексом 3) и чулок (Ч, индексом 4).

Поскольку элементы рассматриваемой группы товаров в силу однородности взаимозависят друг от друга, то эта группа товаров - П- система, состояние которой инвариантно относительно времени и описывается одним полным графом.

Следовательно, для этой системы и ее элементов (носков, колготок, гольфов и чулок), рассматриваемой как множество мощности 4, должно выполняться транзитивное замыкание для элементов любого его подмножества, состоящего из трех элементов.

  • Н - Г - Ч ( подмножество НГЧ )
  • К - Г - Ч (подмножество КГЧ )
  • Н - К - Ч (подмножество НКЧ)
  • Н - Г - К (подмножество НГК)

Рассмотрим любое из этих подмножеств.

Оно будет П-системой, если выполняется транзитивное замыкание бинарных отношений между его элементами.

Следовательно, для того, чтобы однородная группа товаров, рассматриваемая как множество, была П-системой необходимо и достаточно одновременное выполнение транзитивного замыкания для всех элементов каждого из множеств НГК, НКЧ, КГЧ и НГЧ .

В общем случае, для однородной группы, состоящей их N товаров (множества мощности N) , одновременное выполнение транзитивного замыкания должно выполняться для C 2N (числа сочетаний из N элементов по два) подмножеств данного множества, состоящих из трех элементов.

Выясним, какие соотношения между параметрами X1, X 2, X 3 дифференциальных функций распределения f i (x) должны выполняться ,

чтобы осуществилось транзитивное замыкание для трех элементов любого из множеств НГК, НКЧ, КГЧ и НГЧ .

Для этого подставим выражения (2.4) и (2.3) в неравенство (2.2), вспомнив, что

fi( x і/ x і ) = fj( x і, x і ) / f і ( x і X і ф j.

В результате громоздких преобразований имеем следующее эквивалентное неравенству (2.2) соотношение:

ln X 1 X гgt; (1/1 - ek) ( 2ek1 + ln k + e - 1 ) , (2.7)

где k = I” x -1 exp ( - x і) ln x і dx і.

С учетом конкретных значений k1= 0.09783 и к = 0.21942 (точность расчета 10-5 ) окончательно, получаем ln (X 1 X 3) gt; 1.51678.

Тогда для П-системы - множества из 4 элементов: Н, К, Г, Ч - должна выполняться следующая система неравенств: ln (X X4) gt; 1.51678 ln (X X4) gt; 1.51678

ln ( X1 X3) gt; 1.51678 ln ( X 3 X 2 ) gt; 1.51678 ln ( X3 X4 ) gt; 1.51678 ln ( X 2 X 4 ) gt; 1.51678.

Найдем решение этой системы, соответствующее нижней границе достаточного условия выполнения транзитивного замыкания. Оно соответствует случаю равенств. В итоге получаем:

X1= X2 = X3 = X4 = 2.12.

Нетрудно видеть, что мы получим значение X= 2.12 для любого числа членов в однородной группе товаров.

Таким образом, распределение случайной величины T описывается следующим законом

f ( x ) = (1/ek) X exp ( - Xx ) /( 1 + Xx ) при условии, что параметр X=2.12.

Полученный результат позволяет рассчитать важнейшую для производителя характеристику: вероятность того, что с момента t ( до которого в группе товаров не было «смертельных» случаев ) и до момента t 1 gt; t произойдет “смертельный” случай :

= J'1 f ( x ) dx = J” (1/ек) X exp ( - Xx )/( 1 + Xx ) d x (2.8)

Отсюда следует другой важный результат применения теории П- систем к экономике рынка: указанная вероятность не зависит от числа элементов, составляющих однородную группу.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎