Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка

Чтобы решить линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка: необходимо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение характеристик): : Далее нужно представить решение в виде: φ 1( x 1 , x 2 , . xn ) = C 1 , φ 2( x 1 , x 2 , . xn ) = C 2 , . φn- 1 ( x 1 , x 2 , . xn ) = Cn- 1 , где Ck – постоянные. После чего сразу получаем общее решение: , где F – произвольная функция от n – 1 аргументов.

Если нужно получить частное решение с определенными граничными условиями, то необходимо подставить значения переменных из граничных условий в общее решение и найти вид функции F .

Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X 1 , X 2 , . Xn+ 1 – заданные функции от переменных x 1 , x 2 , . xn и z .

Чтобы решить линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка: , необходимо решить уравнение характеристик: . Решение этой системы нужно представить в следующем виде: φ 1( x 1 , x 2 , . xn , z ) = C 1 , φ 2( x 1 , x 2 , . xn , z ) = C 2 , . φn ( x 1 , x 2 , . xn , z ) = Cn . После чего сразу получаем общий интеграл в неявном виде: где F – произвольная функция. Также общий интеграл можно представить в различных вариантах, например: φ 1 = F ( φ 2 , φ 3 , . φn ) , φ 2 = F ( φ 1 , φ 3 , . φn ) , и т. д.

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием: , при .

Это линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Это уравнение характеристик содержит три уравнения: ; ; . Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье будет выполнено автоматически.

Выбираем и решаем первое уравнение: Здесь переменные уже разделены, интегрируем: Интегралы табличные, Потенцируем: Отсюда

Подставим во второе уравнение: Или: Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на x -1 и преобразуем: Интегрируем: Подставим полученное ранее выражение C1 = x y 2 :

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Общее решение исходного уравнения в частных производных имеет вид: где F - произвольная функция от двух аргументов F(φ1, φ2) . Найдем ее вид из граничного условия при .

Рассматриваем решение на границе. Положим x y = –1 : Отсюда На границе .

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид: F ( φ 1 , φ 2 ) = φ 1 φ 2 . Такой же вид она имеет и во всей области Подставляя ; , получаем частное решение исходного уравнения в частных производных с заданным граничным условием:

Общее решение: где F - произвольная функция от двух аргументов F ( φ 1 , φ 2 ) .

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению , и проходящую через данную окружность x + y + z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .

Это линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Оно содержит три уравнения: ; ; . Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье удовлетворится автоматически. Выбираем первое и второе уравнения.

Решаем уравнение: Умножаем на 2 z и интегрируем: Интегралы табличные, Потенцируем: Отсюда x = C 1 y

Подставим во второе уравнение: Или: Замечаем, что , тогда Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Разделим на y 2 и преобразуем: Интегрируем: Подставим полученное ранее выражение и преобразуем:

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Для удобства дальнейших вычислений заметим, что функция от постоянной также является постоянной. Поэтому запишем интегралы в виде:

Общий интеграл исходного уравнения в частных производных имеет вид: F ( φ 1 , φ 2) = 0 Но, поскольку F - произвольная функция от двух аргументов, то общий интеграл можно записать также в виде: φ 1 = F ( φ 2) , где F - произвольная функция от одного аргумента.

Найдем вид этой функции, рассматривая решение на границе. На границе, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , . Из уравнения x + y + z = 0 , z = – ( x + y ) . Подставим в x 2 + y 2 + z 2 = a 2 и преобразуем: x 2 + y 2 + ( x + y ) 2 = a 2 x 2 + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = a 2 2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = a 2 Разделив на y 2 , имеем Итак, мы нашли, что на границе: . Подставим в выражение общего интеграла: φ 1 = F ( φ 2) . Сделаем подстановку : .

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид: . Такой же вид она имеет и во всей области, тогда . Подставляем выражения для φ1 и φ2 : . Умножим на a 2 y 2 .