1.12. Извлечение квадратного корня из комплексного числа

Извлечение корня из комплексного числа можно осуществить, не обращаясь к тригонометрической форме. Выведем алгебраическую формулу для выполнения этого действия.

Пусть . Интересен случай , поэтому рассмотрим только его. Тогда . Это равносильно системе уравнений:

Эта задача имеет вещественные решения, так как всегда существует квадратный корень из комплексного числа. Из второго уравнения системы , подставляя которое в первое уравнение системы (1.12), получаем биквадратное уравнение относительно неизвестного . Его решениями являются , поэтому . Для любого вещественного числаtсуществует функция , которая задается следующим образом:

С учетом введенной функции получаем формулу для нахождения квадратного корня из комплексного числа:

П р и м е р. Найти корни уравнения .

Решение.Корни уравнения равны . Пусть = . Относительно неизвестных и имеем систему уравнений

Из второго уравнения этой системы , поэтому относительно неизвестного получаем уравнение , или . Учитывая, что вещественное число, находим , т. е. . Следовательно, . Таким образом, .

1.13. Показательная форма комплексного числа

В различных разделах современной математики, а также ее приложениях применяется показательная форма комплексного числа. В основе показательной формы лежит формула Эйлера, устанавливающая связь между тригонометрическими функциями действительного аргумента и показательной функцией мнимого аргумента.

Первая формула Эйлера (без вывода):

, (1.15) где е – иррациональное число, принятое за основание натуральных логарифмов (е 2,718).

Если в формуле произвести замену по формуле (1.15), то получим . Это и есть показательная форма комплексного числа . В этой записи − модуль комплексного числа, − его аргумент. Заменим в формуле (1.15) на - , получим вторую формулу Эйлера:

Из формул (1.15) и (1.16) следует, что

Равенства (1.17) также называются формулами Эйлера и выражают тригонометрические функции действительного переменного через показательные функции мнимого аргумента. Формулы (1.17) справедливы и тогда, когда заменяется любым комплексным числом , т. е. , . Эти равенства принимают за определение косинуса и синуса комплексного аргумента.

Тригонометрические функции комплексного переменного также периодичны, причем период . Покажем это для функции . Действительно, = = = = , так как по формулам Эйлера , . Примечательно, что все формулы обычной тригонометрии сохраняют свою силу в комплексной плоскости, например, . Однако в отличие от действительных чисел могут иметь место неравенства и . Например,

Многочлены

Многочлен от одной переменной. Действия

Над многочленами. Корни многочленов. Теорема Безу

Определение.Одночленом от переменной с коэффициентом из множестваАназывается выражение вида , где , − целое неотрицательное число.

Считается, что , поэтому все элементы множестваАявляются одночленами частного вида.

Определение.Одночлены называются подобными, если показатели степени одинаковы.

Подобные одночлены складываются по правилу , которое называетсяправилом приведения подобных членов. Для одночленов определяется и действие умножения .

Определение.Многочленомn-й степени от неизвестногохназывается сумма целых неотрицательных степеней, не превышающихп, неизвестногох, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами, т. е. выражение вида

В многочлене порядок слагаемых безразличен, и подобные одночлены можно соединять по правилу приведения подобных членов. Запись (2.1) называется канонической формоймногочлена. Иногда удобно записывать многочлены в порядке возрастания показателей. Многочлены обозначаются , , и т. д.

Пусть , причем . Одночлен называетсявысшим (старшим) членоммногочлена , а показатель −степеньюмногочлена и обозначается . Нулевой многочлен не имеет высшего члена в смысле данного определения и считается, что он равен 0. Степень нулевого многочлена считается равной символу .

Определение.Два многочлена называются равными (или тождественно равными), если они составлены в канонической записи из одинаковых одночленов, т.е. в том и только в том случае, если , .

Иными словами, в равных многочленах равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного х.

Определение.Суммойдвух многочленов называется многочлен, получающийся при объединении одночленов, составляющих слагаемые. После объединения необходимо привести подобные члены. Таким образом, = + + … + + .

Определение.Произведениемдвух многочленов называется многочлен, составленный из произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго. После приведения подобных членов получим, что = .

Коэффициент при равен , если считать, что при и при .

Пусть даны два многочлена и , причем и . Тогда произведение содержит ненулевой одночлен, который будет высшим для произведения данных многочленов, так как остальные произведения членов на члены имеют меньшую, чем степень.

Для любых двух многочленов и можно найти такие многочлены и , что

причем степень меньше степени или же . Многочлены и , удовлетворяющие условию (2.2), определяются однозначно. Многочлен называетсячастным, а −остатком.

Определение. Пусть даны два ненулевых многочлена и . Если остаток от деления на равен нулю, то многочлен называетсяделителеммногочлена .

Определение.Если − многочлен, , то называется значением многочлена при .

Теорема.Остаток от деления многочлена на линейный многочлен равен значению многочлена при .

Доказательство.Согласно (2) , где − многочлен нулевой степени, т. е. константа. Переходя в этом равенстве к значениям при , получим , откуда . Теорема доказана.

П р и м е р. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

Решение. По доказанной ранее теореме .

Если для полиномов и существует такой полином , что , то говорят, что полином делится на полином . Рассмотрим вопрос о делимости на линейный двучлен , где .

Теорема (Безу).Для того чтобы полином делился на , необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.А.Необходимость.Пусть делится на , т. е. . Тогда . Б.Достаточность. Пусть . Тогда в равенстве будет , т. е. . Теорема доказана.

Определение.Числосназываетсякорнем полинома , если .

С использованием этого определения теорема Безу может быть сформулирована следующим образом: для того чтобы полином делился на двучлен , необходимо и достаточно, чтобыс было корнем . Таким образом, отыскание корней многочлена равносильно отысканию его линейных делителей.

П р и м е р.Является ли линейный многочлен делителем многочлена ?

Решение.Найдем : , следовательно, не является делителем многочлена .