Урок 1-2 Тема Центральные и вписанные углы Урок 1 Цели урока

Цели урока . Повторить все понятия, связанные с окружностью («ра­диус», «хорда», «касательная»); рассмотреть понятия «центральный угол», «дуга окружности» (связь между ними), «вписанный угол» и его состав.

У. На прошлом уроке мы рассматривали взаимное расположе­ние прямой и окружности, а также касательной.

Вспомните, что называется окружностью? Что называется ради­усом диаметром, хордой. Какая прямая называется касательной?

У. Постройте в тетради окружность и все названные элементы

Чертеж на доске (рис. 1) лучше выпол­нять вместе с учащимися, предложив им именно такое расположение элементов. Все углы отмечаются цветным мелом.

У. Назовите другие радиусы окруж­ности. Сколько можно провести радиу­сов, диаметров, хорд в окружности?

При построении этих элементов ок­ружности у нас получились углы. Назовите их.

У. Вспомните, что вы знаете о паре углов AOC и BOA

Д. Они смежные и их сумма равна 180°.

У. Как называется угол ВОС?

Д. BOC - развернутый, градусная мера его равна 180°.

У. Что является сторонами этих углов? А вершины углов где расположены?

Д. Стороны этих углов - радиусы окружности, а вершины располагаются в центре окружности.

У. А угол BCD - он какой?

У. Чем являются стороны этого угла?

Д. Диаметр и хорда или просто две хорды, так как диаметр это наибольшая хорда. Вершина принадлежит окружности.

II. Новый материал

У. Попробуйте разделить все эти углы на две группы по каким- то общим элементам.

Углы в окружности

Д. У всех углов I группы вершина угла является центром ок­ружности, отсюда их название - центральные углы. Стороны яв­ляются радиусами. Запишем определение в тетрадь.

У. Но это не все центральные углы, которые есть на чертеже, например, угол между радиусами OA и ОС вы назвали один, то есть 1, а их два. Покажите второй угол на чертеже и объясните, почему он тоже центральный. Обратите внимание на нестандарт­ный вид этого угла.

У. Каждая пара центральных углов имеет одинаковые обозна­чения, например АОВ или AOC , но их величины разные. Один из углов острый, а другой больше развернутого. Как их разли­чать?

У. Начертите окружность и проведи­те два произвольных радиуса. Каждый из проведенных радиусов пересекает ок­ружность в точках А и В. На чертеже получились два угла, оба центральные, но углу 1 соответствует меньшая дуга, а углу 2 большая дуга. Эти углы яв­ляются дополнительными (рис. 2).

Каждому центральному углу соот­ветствует определенная дуга. Углы из­меряются в градусах, соответствую­щие им дуги тоже измеряются в гра­дусах. Иногда на дуге окружности берут дополнительную точку. Напри­мер М. Тогда

Произносится: «Градусная мера угла /1 равна градусной мере дуги АВ».

Постройте окружность и проведите диаметр. Запишите центральные углы и дуги, им соответствующие, определи­те градусные меры (рис. 3)

1 = uCD 1= 180° = 2

1 = 180° = /2 uCD = 180° = u CLD

У. Дуга CD еще называется полуокружностью. Тогда вся ок­ружность имеет градусную меру 360°. Если дана градусная мера одного из центральных углов, то второй можно найти: 360° - 1. Например (рис. 2):

1 = 75°, тогда 2 = 360° - 75°

uAB = 75 ° uAMB = 285 °

Найдите градусную меру углов 1, 2 и дуги uAB, если uАМВ = 240°.

Д. 2 = 240°, 1 = 360° - 240° = 120°, uАВ = 120°.

III . Закрепление материала

Проводится по распечатке с заданиями (рис. 4), то есть каждому ученику предлагается карточка с готовыми чертежами. Решение задач обсуждается коллективно, затем каждый ученик делает краткую запись.

около чертежа на своей карточке. Если нет возможности раздать распе­чатку каждому ученику, тогда чертежи готовятся заранее на доске (можно плакат). Вот содержание этого задания.

Формируем определение и связь с дугой окружности. На этом можно закончить урок 1. Если остается время, то можно предложить самостоя-

тельно по готовому чертежу выполнить аналогичную работу, изменив градусные меры углов (рис. 5).

Например, найти 1, 2;u MN ; u MKN ; u CD , 3-? Если уроки не «спаренные», то даем домашнее задание.

V. Домашнее задание

§ 70 по учебнику Атанасяна, № 649, № 650.

Найти градусные меры центральных углов, образованных двумя ра­диусами, если: а) один больше другого в 5 раз; б) один из них больше другого на 100°.

I. Новый материал

Мы возвращаемся к рисунку 1 и схеме предыдущего урока, по кото­рой разбирали только I группу углов - центральные.

У. Угол CBD не является центральным, его вершина располо­жена на окружности, а стороны являют­ся хордами. Этот угол имеет свое назва­ние - вписанный.

Учащиеся записывают определение: «Угол, вершина которого лежит на окружности, а сто­роны пересекают окружность, называется впи­санным.

У. Начертите окружность, обозначьте точку на окружности и через нее прове­дите две прямые, пересекающие ее. На­зовите вписанный угол: его вершину и стороны (рис. 6). По аналогии с центральным углом вписанному углу тоже соответ­ствует определенная дуга. Назовите ее.

Д. CAB - вписанный угол, А - вершина угла.

- АС и АВ - стороны (хорды).

- Угол CAB опирается на дугу СВ.

У. Если провести радиусы окружности ОС и ОВ, то получим СОВ - центральный, соответствующий дуге СВ.

Вписанный угол измеряется полови­ной дуги, на которую он опирается (или половиной центрального угла).

Для доказательства можно использо­вать учебник либо вновь воспользоваться распечатками, в кото­рых дана схема рассуждений, но требуется заполнить пропуски.

Дано: ABC - вписанный угол (рис. 7).

Доказать: АВС = 1/2 uАС ( или AВС = 1/2 АОС).

Рассмотрим случай, когда одна из сторон угла является диаметром.

Дополнительное построение: О - центр окружности, OA - радиус.

AOC - центральный, так как OA и ОС радиусы; ААОС =uАС.

Треугольник АOВ - равнобедренный, так как OA = OB = R.

l = l по свойству углов равнобедренного треугольника.

\AOC- внешний, АОС = 1 + 2 = 2 • 1.

1 = ½ AOC (свойству) или 1 = — uАС, так как AOC = uAC.

Все записи обсуждаются устно с классом.

О связи какого угла с соответствующей дугой мы знаем? Какова эта связь?

Есть на чертеже такой угол?

Построим угол, опирающийся на дугу АС. Для этого проведем. (радиус OA).

На чертеже получился треугольник АОВ. Как называется это треуголь­ник? Почему? Какое свойство углов мы знаем?

Мы ищем связь между углами: центральным АОС и вписан­ным АБС, на нашем чертеже угол АОС является внешним углом треу­гольник АОВ (учащиеся записывают это свойство).

Дополнительное построение(рис.8) диаметр BD.

ABC = ABD + CBD – углы вписанные в окружность.

ABD = ½ uAD, по свойству вписанного угла,

4. ABC = ½ ( uAD + ½ uDC);

ABC = ½ ( uAD + uDC) = ½ uAC= ½ AOC.

ABC – вписанный (рис.9).

Дополнительное построение: BD -диаметр.

ABC = ½ uAD – ½ u CD = ½(uAD – uCD);

ABC = ½ uAC = ½ AOC.

Случай 3 можно попросит сделать дома.

У. Проведем закрепление- устно выполним №654 а, б по учебнику Атанасяна.

Рассуждения могут быть следующие:

а) Найдем дугу, соответствующую вписанному углу х. Она равна

360° - (152° + 80°) = 88° . А значит, градусная мера угла х = ½ •88° = 44°.

б) Найдем дугу, соответствующую вписанному углу. Она в 2 раза больше вписанного угла, то есть 60°. Тогда дуга х = 360° - (125° +2 • 30°) = 175°.

Если время позволяет, то следует закрепление материала ( № 657 по учебнику Атанасяна, с.167).

Дано: uAB = 140° ( рис.10),

BAM = ½ uBM по свойству.

u AMB = 360° - 140 = 220°.

Пусть х - коэффициент пропорцио-

нальности, тогда uAM = 6х, uMB= 5х.

Тогда uAM = 120°, uNM = 100°.

II. Домашнее задание

№70,№71. Атанасян; случай III доказательства теоремы( распечатка), №654 в,г, №655.

Тема. Углы, вписанные в окружность. Следствия из теоремы об угле, вписанном в окружность

Цели урока . Закрепление сформулированных на предыдущих уроках по­нятий центрального угла и соответствующей ему дуги; вписанного в окруж­ность угла; центрального угла, соответствующего данному вписанному углу; формулировка и доказательство двух следствий из теоремы об угле, вписан­ном в окружность; отработка навыка решения задач с использованием опре­делений и свойств вписанного и соответствующего ему центрального углов, а также градусной меры дуги, соответствующей данному центральному или вписанному углам; проверка приобретенного навыка решения задач.

I. Разбор вопросов по домашней работы

II. Устная работа

У. Работаем с рисунком 12. Назовите центральный угол?

Д. /AOC,так как его вершина в центре окружности, а сторо­ны - радиусы.

У. Назовите вписанный угол?

Д. /ABC, так как его вершина лежит на окружности, а сто­роны пересекают эту окружность, а стороны радиусы.

У. Можно ли эти углы назвать соответствующими, почему?

Д. Да, оба этих угла опираются на одну дугу и АС.

У. Как связаны их градусные меры?

Д. ABC = ½ AOC ; угол, вписанный в окружность, равен половине цен­трального, ему соответствующего.

У. Чему равен ABC ?

Д. Чему равен ABC = AOC : 2 = 120 : 2 = 60°, так „как нам известен центральный угол, его градусную меру надо разделить на 2.

У. Работаем с рисунком 13.Какой угол нам известен, как он называется?

Д. АВС = 40° - вписанный, так как его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность (являются хордами).

У. Какой угол надо найти?

Д. АОС - центральный, так как его вершина в центре окружности.

У. Как связаны градусные меры этих углов, почему?

Д. АОС - является соответствующим центральным вписанному ABC , так как они опираются на одну дугу, Следовательно, ABC = АОС, АОС в два раза больше A ВС.

У. Чему равен А O С? Д. АОС = 2 • 40° = 80°.

У. В чем разница задач 1 и 2 и что у них общего? Как это влияет на их решение?

Д. В том и в другом случае даны соответствующие централь­ный и вписанный углы, а значит, величина вписанного угла будет в два раза меньше соответствующего центрального, но в первом случае известен центральный угол и поэтому его величина делит­ся на 2, а во втором случае известен вписанный угол и поэтому его величина умножается на 2.

У. Работаем с рисунком 14. Какой угол дан на чертеже?

Д. АВС - вписанный, так как его вершина лежит на окруж­ности, а стороны пересекают окружность.

У. Почему на чертеже нет соответствующего центрального угла и надо ли его достраивать?

Д. Так как вписанный угол и ему соответствующий централь­ный опираются на одну дугу, а гра­дусной мерой дуги называется гра­дусная мера соответствующего цен­трального угла, следовательно, дос­таточно вычислить градусную меру дуги (в данном случае она эквива­лента градусной мере центрально­го угла), поэтому центральный угол в этой задаче строить не надо.

У. Чему равна uAC?

Д. uAC = 360 °- (136 °+ 70 °) = 154 °.

У. Как связаны градусные меры дуги и соответствующего вписанного угла, почему?

У. ABC = 1/3 uAC,так как градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла, а вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.

У. Чем равен /ABC?

Д. ABC = ½ uAC = ½ • 154 = 77 °.

III. Методический диктант

Для сильного класса, в слабом классе по этим заданиям можно продолжить устную работу.

1. Выпишите все вписанные угла и им соответствующие центральные, используя рис.15. ( вписанный ABD – центральный AOD, вписанный DBC- центральный DOC, вписанный ABC- центральный AOC.)

Запишите угол по рис. 15, градусная мера которого равна: ½ /AOC; ½ uAD; uDC; 2 DBC.

(1/2 /AOC = ABC; ½ uAD = ABD;

uDC = DOC; 2 DBC = DOC.)

Запишите сумму углов, если градусная мера этой суммы равна ½ uAC. ( ½ uAC = AD + DBC)

Запишите все записанный угла и им соответствующие центральные, используя рис. 16.

( Вписанный ABC – центральный AOD, вписанный DBC – центральный DOC, вписанный ABC– центральный AOC.)

Запишите по рис. 16 угол, градусная мера которого равна:

½ uAOC; ½ AOD; uAc; 2 DBA.

( ½ uAOC = ABC; ½ AOD = ABD;

uAC = AOC; 2 DBA = DOA.)

VI. Новый материал

(Вводится через решение задач, записан­ных на доске.)

Задача 1 . Определить градусную меру ABC (рис. 17).

Если не найдется ученик, который сразу сможет ответить на вопрос задачи, предлагаются следующие наводящие вопросы:

У. Как называется AВС?

Д . Вписанный, так как его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

У. На какую дугу он опирается?

У. Какой центральный угол соот­ветствует данной дуге и как он назы­вается, чему равна его градусная мера?

Д. AOC - развернутый, AOC = 180°.

У. Чему равен AВС?

Д. ABC = AOC : 2 = 180° : 2 = 90°.

У. Можно ли построить еще углы, опирающиеся на эту же дугу, как и сколь-

ко? Чему они будут равны и почему?

Д. Можно построить бесконечное множество таких углов, взяв любую точку на полуокружности АС , все они будут прямые, так как соответствующий им центральный угол развернутый.

Учитель достраивает чертеж и предлагает учащимся перенести его в тетрадь, предварительно записав формулировку следствия I.

Следствие I . Углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

После того как учащиеся запишут формулировку и сделают чертеж, доказательство проводится устно. Доказательство и его запись делаются самостоятельно дома.

Прежде чем перейти ко второй задаче, можно задать учащимся вопрос.

У . Почему все эти углы оказались равными?

Д. Так как у них был один и тот же соответствующий централь­ный угол, и они, следовательно, опирались на одну и ту же дугу.

Задача 2. Определить градусную меру ADC (рис. 18), если A ВС = 35°.

Если в классе не найдется ученик, который сразу ответит на вопрос, пред­лагаются следующие наводящие вопросы:

У. Как называются AВС и ADC ?

У. На какие дуги они опираются?

Д. На одну и ту же дугу АС.

У. Что мы знаем о таких углах и почему это происходит?

Д. Такие углы равны, так как им соответствует один и тот же централь­ный угол, следовательно, ADC = 35°.

У. Сколько можно построить таких углов и как?

Д. Таких углов можно построить бес­конечное множество. Для этого надо взять вершиной любую точку дуги АС и соединить ее с точками А и С.

Учитель на доске достраивает чертеж, и просит сформулировать по­лученное следствие.

После этого следствие записывается учащимися в тетрадь, и к нему делается соответствующий рисунок. Доказательство предлагается сде­лать учащимся самостоятельно дома.

Следствие II. Вписанные углы, опирающие на одну и ту же дугу, равны.

После этого предлагается решение задач №1, 3, 7, 8, 9, 10, 13 по распечатке. Чертежи рекомендуется заранее приготовить на доске. Все обоснования и пояснения делаются учащимися устно, записываются только вычисления. Как итог уркоа проводится самостоятельная работа: в тех же распечатках учащиеся выполняют задания № 2, 4, 5, 6, 11, 12, 14 (можно пользоваться любой справочной литературой).

При оценке самостоятельной работ необходимо учитывать и выполнение заданий № 1, 3, 7, 8, 9, 10, 13, так как хотя решение и проговаривалось в классе, но записывалось оно каждым учащимся самостоятельно. Работа по распечатке дает возможность сильным учащимся решать в своем темпе, сверяя верность полученных ответов. Но в этом случае необходимо иметь резервные задачи для тех, кто выполнит эту работу быстрее.

Если в конце урока остается время можно проверить правильность выполнения самостоятельной работы, проговаривая ответы и свойства, используемые при решении.

В слабом классе можно использовать для самостоятельной работы часть номеров (№ 2, 4, 5, 6, 12); №11, 16 можно предложить выполнить более сильным учащимся на дополнительную оценку.

№ 10. Разность между центральными и ему соответствующим впи­санным углом равна 59°, чему равны эти углы?

№ 13. Точки M и К делят окружность на дуги, градусные меры кото­рых пропорциональны числам 7 и 11. Через точку М проведен диаметр MP. Вычислить углы треугольника МКР.

№ 14. В окружности с центром в точ­ке О проведена хорда MN. Точ­ки А и В лежат на окружности по разные стороны от хорды. Вычислить MAN и MBN, если MON = 126°.

ul = 135° (по условию);

u2 = 30° • 2 (вписанный угол равен половине соответствующего цент­рального угла и градусная мера дуги равна градусной' мере соответству­ющего центрального угла);

ul + u2 + их = 360° (градусная мера окружности).

Следовательно, ux = 360° - (135° + 60°) = 165°

ul + и2 + u3 = 360° (градусная мера окружности); ul = 122°; u3 = 180°;

следовательно, u2 = 360° - 180° - 122° = 58°.

x = 58°: 2 = 29° (градусная мера центрального угла равна соответ­ствующей градусной мере дуги, вписанный угол равен половине соответ­ствующего центрального угла).

/ MNK = ½ МОК (градусная мера вписанного угла равна полови-

не соответствующего центрального угла).

Следовательно, MNK = 130° : 2 = 65°.

/ A ОС - соответствующий центральный, следовательно,

/АОС = 2 • A ВС = 2 • 47° = 94° (вписанный угол равен половине соответствующего центрального, следовательно, центральный угол в два раза больше соответствующего вписанного угла).

PSR - вписанный, PR - диаметр,

следовательно, PSR = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой).

A ВС = 30° - вписанный,

A ВС опирается на uАС;

ADC опирается на u АС;

следовательно, ABC = ADC = 30° (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны).

ABD - вписанный, AD - диаметр;

следовательно, ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°) = CBA + ABD = 30° + 90° = 120°.

1) АС В = 100° - вписанный,

следовательно, uАВ = 100° • 2 = 200° (центральный угол в два раза боль­ше соответствующего вписанного угла, градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги).

2)uАВ + ABC = 360° (градусная мера окружности), следовательно, иАВС = 360° - 200° = 160°.

3) АОВ = uAOB = 160° (градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги).

Методический комментарий. Разбирая условие этой задачи необходимо сделать акцент на то, что это четвертый случай теоремы о вписанном угле.

Углы не опираются на одну и ту же дугу, но их стороны пересекают окружность в одних и тех же точках, а это значит, что дуги являются допол­нительными друг к другу, то есть их сумма равна 360°. Следовательно, мож­но получить постоянную зависимость величины одного угла от другого.

1)uАВ = 2 • АСВ, uАСВ = 360° - uAB,

следовательно, uАСВ = 360° - 2 • АСВ.

Из пунктов 1) и 2) следует: АОВ = 360 - 2 • АСВ. Из этого равен­ства можно выразить АСВ = 180° - АОВ.

1) uАС - полуокружность (АС - диаметр), следовательно, иАС = 180°.

2) uDA = 2 • DBA = 2 • 35° = 70° (градусная мера дуги в два раза больше вписанного угла, который на нее опирается, так как градусная мера равна соответствующему центральному углу).

3)/DAC = ½ (иАС - uAD) = - (180° - 70°) = 55° (вписанный угол

равен половине дуги, на которую он опирается).

Пусть центральный угол х, следовательно, соответствующий ему вписанный угол ( ½ x) (вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла).

x – ½ x = 59°; следовательно, ½ x = 59°, следовательно,

х = 59°• 2; следовательно, х = 118°.

uAC –полуокружность; так как АС является диаметром, значит, uАС = 180°.

uАВ = 2 • БСА ( ВСА - вписанный, uАВ - ему соответствующая дуга); u АВ = 2 • 40° = 80°. Из пунктов 1) и 2) следует: uBС = uАС - uАВ = 180° - 80° = 100°, BDC = u ВС : 2 = 100° : 2 = 50 ( BDC опирается на и ВС).

1) u АВ = 2ZABC, так как ABC - вписанный и опирается на дугу АВ. u АВ = 2 • 120° = 240°.

2) u АВС = 360° - u АВ = 360° - 240° = 120° (градусная мера окруж­ности равна 360°).

3) A ВС = ½ • u АВС = ½ • 120° = 60°.

1) u МК + u МРК = 360° (рис. 19). Пусть х - коэффициент пропорциональности.

Так как u МК : u МРК = 7 : 11, можно составить уравнение 7х + 11х = 360.

u МК = 7 • 20° = 140°.

МРК = ½ • u МК = ½ • 140° - 70°.

2)Вписанный угол МКР опирается на диа­метр MP, значит АМКР = 90° - 70° = 20°.

1) Угол MAN вписан в окружность (рис. 20), ему соответствует центральный угол MON , значит,

MAN = MON = ½ • 126° = 63 °.

2) uMBN = MON = 126°;

u MAN = 360° - 126° = 234°;

MBN = ½ • uMAN = ½ • 234 ° = 117 °.

Резервные задания для сильных учащихся.

У гол BAC вписан в окружность и опирается на дугу ВС (рис. 21), угол ВКС также опирается на дугу ВС, значит , BAC = BKC = 20 °.

Вписанный угол ACD опирается на диаметр AD, значит, ACD =

CAD = ACD - CDA = 90 °- 50 ° = 40 ° .

Рис. 21 4) BAD = BAC + CDA = 20 ° + 40° = 60 °.

uBC = 40 °, uABC = 100 °,

значит, uAB = uABC – uBC = 100° - 40° = 60°и BOC = 60°.

В треугольнике AOB BO = AO как радиусы окружности, BOC = =60 °, значит, AOB = BAO = ½ • (180° - 60°) = 60°.

Таким образом, BAD= 60 ° .

Найти: углы треугольника AOB?

В писанный угол СВА опирается (рис. 22) на дугу СА, значит, uCA = 2 CBA = 2 • 80° = 160°.

uBC + uCA + uBA = 360°.

Пусть х – коэффициент пропорциональности. Составим уравнение

3х + 2х + 160° = 360°, откуда х = 40.

Рис. 22 3) BOA = uBA = 2 • 40 ° = 80 °.

4) ОA = ОВ как радиусы окружности, значит, треугольник АОВ – равнобедренный. Отсюда OBA = OAB = (180 ° - 80 ° ): 2 = 50 °.

Тема. Углы между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания

Цели урока. Проверить знания теоретического материала по теме «Углы, вписанные в окружность»; сформулировать и доказать свойства еще одного вида углов, связанных с понятием окружности - углов меж­ду касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания; рассмотреть связь градусной меры углов между касательной и хордой с градусными мерами уже ранее изученных углов; отработать навык ре­шения задач с использованием вновь сформулированных свойств.

Ход урока I. Устная работа

(по рис. 23 на доске)

У. С какими углами, связанными с окружностью, вы уже знакомы? Дайте определения и назовите их на чертеже.

Д. Центральный угол ( AOC), вершина которого находится в центре окружности.

Вписанный в окружность ( ABC), его вершина лежит на окружности, стороны пересекают ее.

В У. Как связаны градусные меры этих углов?

Д. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры ему соответствующего центрального угла( ABC = ½ AOC).

У. как связаны их градусные меры с дугой, на которую они опираются?

Д . ABC = ½ uAC, AOC = uAC.

У. какие следствия из теоремы о вписанном в окружность угле вами уже изучены?

Рис. 23 Д. Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, прямой. Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Самостоятельная работа (по материалу , разобранному в устной работе)

Вместо многоточия вставьте верный вариант ответа:

в 2 раза больше; в 2 раза меньше; равно.

1. Вписанный в окружность угол всегда…………………соответствующего центрального угла.

2. Центральный угол всегда………………соответствующей дуге.

3. Вписанный в окружность угол всегда…………соответствующей дуги.

4. Центральный угол всегда…………соответствующего вписанного угла.

5. Дуга окружности всегда……………соответствующего вписанного угла.

6. Градусная мера дуги всегда…………………….соответствующему центральному углу.

Сформулируйте и докажите свойство вписанного в окружность угла, опирающегося на диаметр.

I. Вместо многоточия вставьте верный вариант ответа:

в 2 раза больше; в 2 раза меньше; равно.

1. Градусная мера дуги всегда………. соответствующему центральному углу.

2. Центральный угол всегда…………. соответствующей дуге.

3. дуга окружности всегда………………..соответствующего вписанного угла.

4. Центральный угол всегда………………соответствующего вписанного угла.

5. Вписанной в окружность угол всегда…………………соответствующей дуги.

6. Вписанный в окружность угол всегда………………………. соответствующего центрального угла.

II. Сформулируйте и докажите свойство вписанных в окружность углов, опирающихся на дугу.

В- I. I. 1) в два раза меньше; 2) равен; 3) в 2 раза меньше; 4) в 2 раза больше;5) в 2 раза больше; 6) равна.

В- II. I. 1) равна; 2) равен; 3) в 2 раза больше; 4) в 2 раза больше; 5) в 2 раза меньше; 6) в 2 раза меньше.

III. Новый материал

Устная работа по рисунку на доске (рис. 24)

У. Назовите на чертеже центральый угол.

Д. AOB – вершина угла в центре окружности.

У . Что называется хордой?

Д. Отрезок, соединяющий две точки окружности; Рис 24

в нашем случае AB.

У. Назовите касательную к окружности. Каким свойством она обладает или дайте определение (Атанасян).

Д. Прямая ВС. Касательная перпендикулярна радиусы, проведенному к точке касания, значит, OBC = 90 °.

У. Покажите углы между касательной и хордой, проведенной в точку касания. Выберите и обозначьте наименьший. Чему он равен в нашем случае?

У. Назовите дугу, заключенную между касательной хордой.

У. Какому углу она равна?

Д. uAB = AOB (градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла).

У. Вычислите градусную меру этого угла.

Д. AO = OB (радиусы), следовательно, треугольнику AOB – равнобедренный с основанием АВ, следовательно, A = B = 30 °

(свойство углов при основании равнобедренного треугольника), следовательно AOB = 180° - 2 • 30°= 120°.

У. Сравните градусную меру угла между касательной и хордой (можно выделить другим цветом).

Д. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними.

У. Ребята, мы сейчас сформулировали свойство угла, образованного касательной к окружности и хордой, проведенной к точке касания. Запишем это свойство в тетрадь.

У. Почему нельзя сказать, что это свойство мы уже доказали?

Д. Числовой пример не является доказательством, так как мы не можем перебрать все числа.

2. Письменное доказательство теоремы

Теорема. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними.

Дано: Окружность (О; r), MN – касательная, AB – хорда,

Доказать: BAV = ½ uBA.

Дополнительное построение: BO = OA – радиусы окружности.

OAM = 90 °, так как MN – касательная, OA – радиус, BAM = 90° - OAB.

Рассмотрим треугольник BOA:OB = OA (радиусы), значит, треугольник BOA- равнобедренный с основанием АВ, поэтому OAB= ABO.

BOA = 180 °- AOB - ABO= =180°2• OAB = 2• (90 ° - OAB) (2)

uBA = BOA = 2 • (90 - OAB) = 2• BAM, значит,

uBA = 2• BAM BAM= ½ uBA.

V I . Закрепление

Задания № 1 и 2 выполняются устно, №3 – письменно.

ABC = ½ uAB (свойство угла между касательной и хордой).

uAB= AOB = 180°(развернутый угол). Рис. 26

ABC = ½ • 180 ° = 90°.

1. CBE = ½ uBc (свойство угла между касательной и хордой).

2./BAC – вписанный в окружность, значит, /BAC = ½ uBAC ( ½ uBC) (свойство вписанного угла).

3.uBC = 2 • /BAC = 2 • 50° = 100°,

CBE = 100° : 2 = 50°. Рис. 27

uBEA = 2 • AMB (вписанный угол в 2 раза меньше дуги, на которую он опирается),следовательно, uBEA = 2 • 80 ° = 160 °.

DBA = ½ uAEB = 160 : 2 = 80°(свойство между касательной и хордой) .

Рассмотрим треугольник ADB;

ADB = 180 ° - DBA = 180 ° – 30 ° -80 ° = 70 ° .

Рис. 29 Задачи № 2 и № 3 специально рассматривается подробно *углы находятся через выполнение взаимообратных действий: умножение на 2, затем деление на 2). Если никто из учеников не заметит нерациональности в решении,учитель может сам акцентировать внимание детей на пунктах 1,2 задачи № 3.

После этого можно сформулировать и записать как свойство: угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между касательной и хордой.

№ 462 («Сборник задач по планиметрии 8-9» А.Гайштут и Г.Литвиненко) (смотри стр. 35)

Дано: Треугольник ABC впсиан в окружнсоть, A: B: C = 4:5:6;

BМ – касательная к окружности (рис. 29)

Рис. 30 Вычислить: /MBC и /MBA.

Рассмотрим треугольник АВС: А+ В + /С = 180 °.

Пусть х – коэффициент пропорциональности:

4х + 5х + 6х = 180,

2) А = 4 • 12°= 48°, МВС = А= 48° (свойства угла между касательной и хордой и вписанного угла, опирающегося на дугу, заключенную между касательной и хордой).

3) АВМ = АВС + МВС = 5 • 12° + 48° = 60° + 48° = 108°.

У. Назоваите все получившиеся вписанные углы (рис. 30).

У. Назовите все углы между касательной и хордами.

Д. NAB; NBA; KBC; KCB; MCA; MAC.

У. Какие из них будут равны и почему?

Д. NAB = NBA; KBC= KCB; MCA = MAC. У каждой пары этих углов между касательной и хордой заключена одна и таже дуга, поэтому они численно равны половине, то есть равны между собой.

У. Какой их углов треугольника равен каждой из этих трех пар и почему?

Д. NAB = NBA = C; KBC = KCB = A; MCA = MAC = B. Так как угол между касательной и хордой равен вписанном углу ,опирающемуся на дугу, заключенную между касательной и хордой.

У. Что можно сказать про вид треугольников ANB; BKC; CMA?

Д. они равнобедренные, так как в каждом из этих треугольников есть по два равных угла.

V I. Домашнее задание

№656, 663 по учебнику Атанасян.

Выучить теорию (подготовка к тесту).

Тема. Пропорциональность отрезков хорд и секущих.

Цели урока. Проверить знания учащихся и понимание темы: «Вписанный угол»; рассмотреть теоретический материал (о хордах и секущих); закрепить навыки решения задач.

I. Вопросы по домашнему заданию

II. Проверка знаний

Проверка теории, проверка знаний учащихся по теме «Вписанный угол» носит характер теста. Тест проверяет не только фактическое зна­ние определений, свойств, но и понимание связей между понятиями. Поэтому некоторые вопросы сформированы не строго в соответствии с учебником. На выполнение отводится 5-7 минут. Работы необходимо оценить. Если ученик не справился, то рекомендуется проверить его на знание формулировок из учебника.

Тест проводится в конце темы, так как необходимо отработать все связи между дугой, центральным и вписанным углами.

Учащимся при выполнении теста нужно написать только соответству­ющие номера. Мы экономим время и заставляем учащихся размышлять.

После проведения теста можно ответить на вопрос, вызвавший инте­рес у большинства учащихся.

Тест (по учебнику Л. С. Атанасян)

Соедините начало и окончание фразы так, чтобы получилось верное утверждение. В ответе укажите номера левой и правой частей задания, например: 2-5.

Угол называется вписанным.

Угол называется центральным…

Градусная мера дуги…

4.Дуге, величиной 180°, соответствует вписанный угол…

5.Удвоенная градусная мера вписанного угла равна..

6. Вписанный угол равен 90°…

7. Два вписанных угла, опирающихся на одну дугу…

8.Угол между касательной и хордой, проведенной в точке касания…

9. Градусная мера дуги, заключенной между сторонами вписанного угла…

10. полуокружность имеет градусную меру…

1.…градусной мерой дуги, на которую он опирается.

2.…если он опирается на диаметр.

3.…равен половине дуги, заключенной между ними.

4.…имеют одинаковую градусную меру.

5.…в 2 раза больше его градусной меры.

7.…если его вершина является центром окружности.

8.…имеющий градусную меру 90°.

9.…если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

10.…равна градусной мере соответствующего центрального угла.

1. Угол, образованный двумя хор­дами, выходящими из одной точ­ки окружности.

2. Угол, образованный двумя ра­диусами.

3. Градусная мера вписанного угла.

4. Угол, опирающийся на диаметр.

5. Вписанные углы имеют одина­ковую градусную меру, если.

6. Градусная мера дуги.

7. Угол между касательной и хор­дой.

8. Дуга, заключенная между сто­ронами вписанного угла.

9. Касательная к окружности.

10. Градусная мера центрального угла…

2. равен половине дуги, заклю­ченной между ними.

3. равна удвоенной градусной мере этого угла.

4. называется центральным углом.

5. перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

6. называется вписанным углом.

7. равна градусной мере дуги, зак­люченной между его сторонами.

8. равна половине дуги, на ко­торую он опирается.

9. равна градусной мере соот­ветствующего центрального угла.

10. они опираются на одну и ту же дугу.

Ответы: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.

Соедините начало и окончание фразы так, чтобы получилось верное утверждение. В ответе укажите номера левой и правой частей задания, например: 2-5.

1.Угол является вписанным.

2. Угол является центральным.

3. Два плоских угла с общими сто­ронами.

4.Градусная мера дуги.

5.Градусная мера центрального угла.

6.Удвоенная градусная мера впи­санного угла равна.

7.Вписанный угол равен 90°.

8.Два вписанных угла, опираю­щихся на одну дугу.

9.Угол между касательной и хор­дой, проведенной в точку каса­ния.

10.Градусная мера дуги, заклю­ченной между сторонами вписан­ного угла.

1. равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

2. если он опирается на диаметр.

3. имеют одинаковые градусные меры.

4. градусной мере дуги, заклю­ченной между его сторонами.

5. равен половине дуги, заклю­ченной между ними.

6.…в два раза больше его градус­ной меры.

7. если он образован радиусами.

8. называются дополнительными.

9. если он образован хордами, проведенными из одной точки ок­ружности.

10. равна градусной мере соот­ветствующего центрального угла.

Ответы: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.

1. Угол, образованный двумя хор­дами, выходящими из одной точ­ки окружности.

2.Угол, образованный двумя ра­диусами.

3.Два плоских угла называются дополнительными.

4.Градусная мера центрального угла.

5.Градусная мера вписанного угла.

Градусная мера дуги.

Угол, опирающийся на диаметр.

Два вписанных угла, опираю­щихся на одну дугу.

Угол между касательной и хор­дой, проведенной в точку касания.

Дуга, заключенная между сто­ронами вписанного угла.

. равен половине дуги, заклю­ченной между ними.

. имеют одинаковую градусную меру.

. равна удвоенной градусной мере этого угла.

. равна половине соответству­ющего центрального угла.

. если они имеют общие сторо­ны.

. равна градусной мере соот­ветствующего центрального угла.

. равна градусной мере дуги, заключенной между его сторонами.

Ответы. 1-4; 2-6; 3-8; 4-10; 5-7; 7-2; 8-3; 9-1; 10-5.

III. Объяснение нового материала

У. Запишем тему урока и раз­берем задачу по готовому черте­жу устно,(рис. 31)

У. В окружности проведены ди­аметр АС , хорды BD , СВ и AD и касательная CN , которая образует с продолжением хорды AD угол 30°.

Рассуждения по задаче:

1) Как называется угол DBC , на какую дугу он опирается?

2) Что можно сказать об угле CAN ?

3) Свойство касательной CN.

4) Как можно вычеслить величину угла CAN и почему?

Во время рассуждений отмечаем на чертеже равные углы, а также ACN = 90 °. Далее предлагаем рассмотреть треугольники ВСМ и AMD. Эти треугольники подобны (можно подсказать, если не увидят сами).

Для доказательства подобия треугольников надо вспомнить призна­ки подобия.

На чертеже уже отмечены равные углы CBM = CAD (опираются на одну дугу). Остается только заметить вертикальные углы :

∆ AMD (по двум углам).

Что нужно сказать про соответственные стороны подобных треугольников? Составьте пропорцию:

BM AM = CM DM = BC AD.

У. . Чем являются в окружности отрезки, которые вошли в пропорцию?

Д. Части хорд и диаметра.

У. То есть можно предположить, что есть связь между пере­секающимися хордами в окружности.

Сформулируем теорему: если две хорды окружности пересе­каются, то произведение отрезков одной хорды равно произве­дению отрезков другой хорды.

Доказательство проводится по учебнику Атанасян, учащиеся подготов­лены к восприятию теоремы, и ее запись не должна занять много времени.

Считаем, что необходимо рассмотреть теорему о секущих .

Готовим чертеж для теоремы и выясняем, что понимаем под секу­щей к окружности: прямая, пересекающая окружность в двух точках.

Записываем формулировку теоремы : если из точки, лежащей

вне окруж­ности, проведены две секущие, то произведения секущей на свои внешние части равны. (Или: если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно,

то АР • BP = = CP - DP .)

Дано: BP и DP - секущие (рис. 32).

Доказать: BP • АР = PD • PC.

1. Выполним дополнительное постро­ение: ВС nAD .

РВС = PDA (вписанные, опира­ются на uАС).

∆ PDA (по двум углам)

BC AD = PC/AP = BP/PD → PC • PD = AP• BP.

Продолжим рассмотрение взаимного рас­положения секущих и окружности. Если из­менить данный чертеж таим образом, что секущая РВ займет положение касательной, то наша теорема будет формулироваться так: если из одной точки вне окружности проведены секущая и касательная к этой окружности, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

P Итак, надо доказать, что BP 2 = PD • PC.

Проведем хорды ВС и BD.

BDC = ½ u ВС (как вписанный);

СВР = ½ u ВС (угол между касательной и хордой), следовательно

∆ CPB по двум углам.

BD/BC = BP/PC =PD/BP, значит BP 2= PC • PD.

Можно, записав формулировку теоремы, решить задачу № 670 (Ата- насян) и таким образом провести доказательство теоремы. Так как прин­цип доказательства повторяется, во всех трех теоремах он основан на подобии, то можно попросить провести доказательство у доски одного из учащихся.

KL и MN- секущие (рис. №34). Какое свойство можно сформулировать? (Обсуждаем и готовим чертеж, решаем задачу по этому чертежу.)

Задача (Дидактические материалы, автор Мельникова):

Хорды MN и КL пересекаются в точке С. Определите длину отрезка CL , если KC = 3см, МС = 3 см; Сн = 9 см.

МС • СН = КС • CL (по свойству хорд окружности),

CL = (MC•CH):KC, CL = (2•9) : 3, CL = 6 ( см ).

По этому чертежу решаем ещё одну задачу, изменив данные:

KL = 14 дм, СМ = 4 дм, СН = 12 дм.

МС • Сн = КС • CL . Нам не даны отрезки КС и CL , но дан весь отрезок KL .

Пусть КС = х(дм), тогда CL = (14- x )дм.

Составим уравнение: 4• 12 = (14- х)• х,

х 2 – 14х: + 48 = О,

КС = 6 дм, тогда CL = 8 дм (или наоборот).

Ответ: 6 дм; 8 дм.

Чем являются AD , АВ на рисунке (рис. 35)?

AD - секущая, АВ - касательная.

Как связаны эти отрезки?

Выполним №671 (Атанасян).

Дано: АВ - касательная,

AD - секущая. АВ = 4см,

Найти: CD . Рис. 35

1 )АВ 2 = AD •АС (по свойству секущей и касательной, проведенной из одной точки вне окружности).

2) AD = DC + СА, пусть DC = х (см) тогда AD = (х + 2) см .

16 = 2х + 4, 2х = 12,

Если время позволяет, то решим задачу №557 («Сборник задач по планиметрии, 8-9» А.Гайшут и Г.Литвиненко.)

Из одной точки к окружности проведены касательная и секущая. Найти секущую, если известно, что внутренний отрезок относится к внеш­нему как 3:1. Длина касательной 12 см.

Можно выполнить эту задачу по тому же чертежу, но учащиеся дол­жны найти те элементы, о которых говорится в задаче.

Дано : АВ - касательная, BD - секущая.

CD : ВС = 3 : 1, АВ = 12 см.

2)Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда

ВС = х, CD = Зх (другими словами, отношение 3 : 1 показывает, что DC > ВС в 3 раза, тогда если ВС = х, то DC = 3х)

BD = ВС + DC — х + Зх = 4х.

х 2 = -6 - не подходит, так как х > 0.

Тогда ВС = 6 см, DC = 18 см,

BD = 6 + 18 = 24 (см).

Ответ: BD = 24 см.

Как называются отрезки АВ и АС (рис. 36)?

Какое свойство можно записать?

Устно: вычислить AN, если AC= 12, Am = 8, AB = 16

((AN = (CA•AM) : AB, AN = (12•8) : 16, AN = 6))

Можно решить устно задачи по тем же чертежам, расставив новые данные. По рисунку 34: МС = 5, СН = 8, LC = 10. KC - ?

По рисунку 35: АС = 4, DC = 12. АВ- ? (Ответ: АВ = 8.)

IV. Домашнее задание

Две хорды окружности пересекаются. Точка пересечения подели­ла первую хорду на отрезки 8 см и 2 см, а вторую - пополам. Вычисли­те длину второй хорды.

2.Через точку Апроведены касательная (В - точка касания) и секу­щая, которая пересекает окружность в точках С и D; AD = 24 см, АВ = 12 см. Найдите СА.

3.Из точки К к окружности проведены секущие КАВ и KCD (точки А, В, С, D принадлежат окружности). АВ = 19 см; КС = 6 см;

Найдите КВ и KD.

V. Решение задач

Дано: AM = MB; CM = 8 см ; MD = 2 см ( рис . 37)

1)AM = MB, пусть AM= х(см), тогда MB = х (см).

2)AM • MB = CM • MD. По свойству хорд:

х 2 = 8 • 2, х 2 = 16.

Х 1 = 4, х 2 = -4 (неподходит).

3)АВ = 2 • AM = 8 (см).

Дано: АВ - касательная,

В - точка ка­сания (рис. 38),

AD — 24 см; АВ = 12 см D

Дано: КАВ и KCD – секущие(рис. 39).

AB = 19 см; КС = 6 см; АК : СВ = 1:4.

По свойству секущих: КВ • КА =

АК ‹ CD в 4 раза ( по условию).

Пусть АК = х(см); CD = 4x,

тогда КВ = АВ+ КА, КВ = (19 + х)см.

KD = Kc + CD, KD = (6 +4x) см,

(19+ х) • х= (6 + 6х) •6.

х 2 – 24х + 19х = О,

х 2 = - 4 (не подходит);

3)KB = 19 + 9 = 28 см.

4) KD = 6 + 4 • 9 = 42 см.

Ответ: 42 см м 28 см.

Тема. Обобщение темы «Вписанный угол»

Цели урока. Повторить теоретический материал; закрепить навык решения задач.

I. Вопросы по домашнему заданию

II. Письменный опрос учащихся (на отдельных карточках)

1) Вписанный угол равен…

а)…половину дуги, на которую опирается;

б)…половине соответствующего центрального угла;

в)…90°, если он опирается на диаметр.

2) Центральный угол равен…(…дуге, на которую он опирается).

3) Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен…(…половине дуги, заключенной между ними).

4)Сумма градусных мер дуг окружно­сти с общими концами. ;

сумма градусных мер дуг, соответству­ющих дополнительным углам. (. равна 360°).

5)Если хорды окружности пересека­ются в точке, то. (. произведение от­резков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды).

Если из точки вне окружности про­ведены касательная и секущая, то. (. квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на длину ее внешней части).

Если из точки вне окружности проведены две секущие, то. (. про­изведение длины секущей на длину ее внешней части равно произведе­нию длины другой секущей на длину ее внешней части).

Если вписанный угол прямой…(. то он опирается на диаметр).

Если два вписанных угла опираются на одну дугу. (. то они равны).

2. На доске заранее сделаны рисунки (рис. 40, 41, 42), на которых цветным мелом выделены элементы хорд, касательных и секущих.

Задание. а) Записать в тетради равенства, соответствующие чертежам.

б) Найти неизвестный элемент.

х 2 – 2 x – 15 = 0;

3.Затем переходим к письменному решению задач для повторения и подготовке к контрольной работе.

Найти угол а по данным чертежа (рис. 43).

Дано: QZ - диаметр. XQY = 19°; QYX = 47°.

Можно начать решения с вписанных уг­лов (I способ), а можно с дуг окружности (II способ).

XQY = 19° - вписанный,

uXY = 19° • 2 = 38°. QYX = 47° - вписанный,

uQY = uQX + uXY = 38° + 94° = 132°.

uYZ = u QYX - uQY = 180° - 132° = 48°.

Тогда α = ½ uYZ = ½ • 48° = 24° (по свойству вписанных углов).

Можно найти угол QXY = 180° - 19° - 47° = 114°. Тогда uQZY = 114 • 2 = 228°, uQZ = 180°, значит, uYZ = 228° - 180° = 48°, α - 24°.

Далее рассмотрим задачу из варианта 4 контрольной работы для

9-го класса (автор Дудницын). В учебнике Атанасяна Л.С. можно рассмотреть задачу № 657.

Дано: Окружность (O ; R); Е и F принад­лежат окружности (рис. 44).

uEF: uECF = 3:7; CF - диаметр.

Вычислить: ECF CEF, EFC?

1)∆CEF : ZF = 90°(как вписанный угол, опирающийся на диаметр).

uEF + uECF = 360°, если uEF = 3x, а uECF = 7х,

uEF = 36°• 3= 108°, uECF = 7• 36° = 252°.

3) C = ½ uEF ( по свойству вписанного угла),

4) F = 90° – 54° (по п.1),

№ 542 (Сборник по планиметрии 8-9. А.Гайштут, Г.Литвиненко).

Дано: Е – точка пересечения хорд CD и АВ. СЕ = 2АЕ, ED = AE +4,

1)СЕ•ED = AE • EB ( по свойству хорд окружности).

2) Пусть АЕ=х, тогда СЕ= 2, а ED = х+4, ВЕ = 17 – х.

ED = 3 + 4 = 7, СЕ = 2 • 3 = 6.

CD = CE + ED, CD = 6+7, CD = 13.

Если время позволяет, можно рассмотреть решение такой задачи: касательная и секущая, сходящие из одной точки, соответственно рана 12 и 24 см. Вычислить радиус окружности, если секущая удалена от центра на 12 см

Задача хороша тем, что повторяет свойство касательной и секущей, свойство диаметра, перпендикулярного хорде; теорему Пифагора.

(Важно выполнить и разобрать с учащимися, что означает слово «удалена» и оборот «находится на расстоянии».)

Решение: 1)AD 2 = AC• AB (по свойству касательной секущей, рис. 46).

AB = (12•12) : 24 = 6 (см).

СВ = АС – АВ, СВ = 24- 6 =18(см).

СВ= 2 • СК ( по свойству димаетра, перепендикулярного хорде).

Треугольник ОКВ – прямоугольный, по теореме Пифагора получим:

ОВ 2 = ОК 2 + КВ 2 , где ОВ – радиус ОВ 2 = 12 2 + 9 2 , ОВ = 15(см).

В качестве домашнего задания можно предложить задачи № 486, 535, 561, из задачника к школьному курсу геометрии. 8- 9-й класс (авторы А.Гайштут , Г.Литвиненко).

Точка Е- пересечение хорд АВ и CD.

uDB = 200°? uAC = 80° (по рис. 47).

Найти: AEC. Рис. 47

(Можно упростить задачу, если потребовать найти AED.)

Д ополнительное построение: хорда AD.

BAD = 100°, ADC =40°.

∆AED : AED = 180° – (100° + 40°)= 40°;

AEC = 180° – 40°, AEC = 140°. Рис. 48

Е – точка пересечения хорды CD и диаметра АВ. CD ⊥ Ab,

AE + EC = 7, CE + BE = 17,5.

АЕ • ЕВ = СЕ • ED (рис. 48).

Пусть СE = х, тогда ED = x;

AE = 7 – x; BE =17,5 – x.

(7 – x) • (17,5 – x) = x 2

122, 5 – 17,5x – 7x + x 2 = x 2;

BE = 17,5 – 5 = 12,5.

К окружности радиуса 5 из одной точки проведены касательная и секущая.

Найти длину касательной, еслиона больше внешнего отрезка секущей на 2, а секущая удалена от центра на 3.

Дано: ОВ = 5( рис. 49).

АР > АВ на 2, ON = 3.

ON- расстояние от центра окружности до секущей; DN ⊥ CB, следовательно, CN = NB.

Треугольник ONB – прямоугольный; по теореме Пифагора поулчим OB 2 = ON 2 + NB 2 , NB 2 = 5 2 -3 2 , NB = √2•8 = 4

Пусть АВ = х, тогда АР = х = 2, а АС = х + 2• 4.

(х + 2) 2 = (8 + х) 2 • х 2

х 2 + 4х + 4 = 8х + х 2 ;

АВ = 1, АС – 8+ 1 = 9;

Разность между центральным и соответствующими вписанным углом равна 53°. Вычислите градусные меры этих углов.

Из точки К к окружности проведены секущие КАВ и KCD (А, В, С, D – принадлежат окружности). АВ = 8 см, КС = 6см, DC : AK = 1: 2. Вычислите длины КВ и KD.

Точки М и К делят окружность на дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 7 и 11. Через точку М проведен диаметр МР. Вычислите углы треугольника МКР.

Из точки окружности, радиус который равен 20 см. проведен перпендикуляр к радиусу, который поделил радиус на отрезки 3:2 (считая от центра). Найдите длину хорды окружности, содержащей перпендикуляр к радиусу.

Сумма центрального и соответствующего вписанного угла равна 99°. Вычислите градусные меры этих углов.

Из точки N проведены секущие Nab и NCD (A, B, C, D – точки на окружности). АВ = 22см, NC = 4 см, AN = : CD = 1:4. Вычислите длины NB и Втю

Точки Р и S делят окружность на дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 15 и 9. Через точку Р проведен диаметр РМ. Вычислите углы треугольника MPS.

Из точки окружности радиуса 30 см проведен к радиусу перпендикуляр, который поделил радиус в соотношении 3 : 2 (считая от центра) Вычислить длину хорды окружности, содержащей перпедикуляр к радиусу.

Решение контрольной работы

пусть х – вписанный угол, тогда соответствующий центральный угол равен 2х ( по свойтсу). Их разность:2х – х = 53°,