Числовые последовательности и ряды с комплексными членами

Основные понятия, связанные с последовательностями комплексных чисел, вводятся так же, как в действительной области.

1. Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие комплексное число , то говорят, что задана последовательность комплексных чисел (последовательность с комплексными членами): .

2. Последовательность называется ограниченной, если существует число . Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной: для , что .

3. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого числа , такой, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Правило 1.1. Чтобы по определению доказать, что данная последовательность является бесконечно малой, следует:

4. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа найдется номер , такой, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Геометрически это означает, что члены последовательности для расположены в окрестности бесконечно удаленной точки, в области .

Из определений бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей легко установить связь между ними. Если — бесконечно малая последовательность, то — бесконечно большая, и наоборот, если — бесконечно большая последовательность, то — бесконечно малая.

5. Число называется пределом последовательности , если последовательность является бесконечно малой (обозначается ):

Из определения получаем правило.

Правило 1.2. Чтобы доказать, что заданное число , следует:

6. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, — расходящейся.

Расходящейся последовательностью является любая неограниченная последовательность, в частности бесконечно большая. Для бесконечно большой последовательности принято обозначение .

Интерпретация комплексных чисел точками сферы Римана придает этому равенству большую наглядность. Действительно, образами точек последовательности на сфере Римана являются точки с координатами

Эти соотношения получаются из равенств и уравнения сферы (см. замечание 1.2). Поскольку , то условие означает, что последовательность точек сходится к точке

Пример 1.36. Записать пять первых членов последовательностей: а) ; б) .

Подставляя последовательно значения , получаем:

Пример 1.37. Исследовать на ограниченность последовательности: .

Решение. Так как , то для любого . По определению последовательность — ограниченная.

Для второй последовательности, используя свойство модуля, находим

Далее рассматриваем неравенство при любом и решаем его относительно . В качестве можно взять любое . По определению последовательность неограниченная.

Пример 1.38. Доказать, что последовательность вида является бесконечно малой, если , и бесконечно большой, если .

Пусть . Воспользуемся правилом 1.1:

1) составляем неравенство , то есть ;

2) решаем его относительно ;

3) обозначив ( — целая часть числа ), получим, что для выполняется неравенство для любого — бесконечно малая последовательность.

Учитывая связь бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей, заключаем, что при является бесконечно большой.

Так, бесконечно малыми являются, например, последовательности:

Пример 1.39. Применяя определение, доказать, что .

Используем правило 1.2:

1) составляем последовательность ;

2) доказываем, что — бесконечно малая. Находим . Так как , то и, следовательно, — бесконечно малая.

Исследование сходимости последовательности комплексных чисел и нахождение ее предела (в случае сходимости) можно свести к соответствующей задаче дли последовательностей с действительными членами. А именно имеет место следующее утверждение.

Утверждение 1.2. Для сходимости последовательности z„ необходимо и достаточно, чтобы сходились две последовательности и , причем

Из утверждения 1.2 и свойств сходящихся последовательностей действительных чисел вытекают следующие свойства последовательностей с комплексными членами. Эти свойства приведем в виде утверждения.

Утверждение 1.3. Если , то

Пример 1.40. Вычислить предел последовательности с комплексными членами .

Первый способ. Используем утверждение 1.2. Обозначим и найдем , выполняя операцию деления комплексных чисел:

Получаем . Найдем пределы последовательностей действительных чисел:

Второй способ. Используем утверждение 1.3, применяя соответствующие методы, как в действительном анализе. Находим

Ряды с комплексными членами

Основные понятия, связанные с рядами в комплексной области, вводятся так же, как в действительной области.

1. Выражение вида , где — последовательность комплексных чисел, называется числовым рядом с комплексными членами (обозначается ).

2. Сумма называется n-й частичной суммой ряда, обозначается последовательность — последовательность частичных сумм ряда.

3. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм, т.е. существует . Этот предел называется суммой ряда:

4. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ряд . Заметим, что ряд — ряд с действительными положительными членами.

Признаки сходимости рядов с комплексными членами

Критерий Коши. Дня сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого , такое, что для любого и любого .

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то .

Отсюда следует, что условие является достаточным условием расходимости ряда .

Исследование сходимости ряда с комплексными членами можно свести к соответствующей задаче для рядов с действительными членами.

Утверждение 1.4. Дня сходимости ряда с комплексными членами необходимо и достаточно, чтобы сходились два ряда с действительными членами:

Правило 1.3. Чтобы исследовать ряд с комплексными членами на сходимость, необходимо:

1) для данного ряда найти и ;

2) составить ряды и и исследовать их на сходимость, как ряды с действительными членами. Если оба ряда сходятся, то ряд , сходящийся, если хотя бы один из рядов или расходится, то ряд , расходящийся.

Правило 1.4. Чтобы исследовать комплексный ряд на абсолютную сходимость, необходимо:

1) составить ряд , членами которого являются модули членов данного ряда ;

2) исследовать полученный ряд на сходимость, как ряд с действительными положительными членами. Для этого могут быть использованы признаки сходимости таких рядов: признак Даламбера, Коши, признаки сравнения, интегральный признак.

Если ряд сходится, то ряд сходится абсолютно.

Если расходится, то может быть либо расходящимся, либо сходящимся; в последнем случае он называется условно сходящимся.

Признаки абсолютной сходимости рядов с комплексными членами

А. Признак Даламбера . Если , то ряд сходится абсолютно.

Б. Признак Коши. Если , то ряд сходится абсолютно.

В. Признак сравнения. Если и сходится, то ряд , сходится абсолютно.

Замечание 1.3. При исследовании на сходимость рядов , где — дробно-рациональное, или дробно-иррациональное выражение от , используется признак сравнения; при этом в качестве ряда выбирается ряд вида , который, как доказывается в действительном анализе, сходится при .

Пример 1.41. Исследовать на сходимость ряды; в случае сходимости найти суммы рядов:

1) Так как , то, применяя признак Коши, получаем , следовательно, ряд сходится абсолютно.

Составляем последовательность частичных сумм ряда и обозначаем . Тогда — сумма членов геометрической прогрессии:

Так как , то (см. пример 1.38), поэтому .

Полученный результат можно сформулировать следующим образом: ряд вида при сходится и сумма его вычисляется по формуле . В данном случае , поэтому .

2) Используем правило 1.3:

2) составляем ряды и . Ряды сходятся как ряды вида . и их суммы равны . Суммой данного ряда является число .

Пример 1.42. Исследовать на сходимость ряды:

Для этих рядов нахождение и затруднительно, поэтому будем пользоваться другими признаками:

1) здесь , ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости;

2) для этого ряда , необходимый признак выполняется, но в силу его недостаточности требуется дальнейшее исследование. Воспользуемся замечанием 1.3. Применим признак сравнения с рядом

Итак, по признаку сравнения ряд сходится абсолютно.

Пример 1.43. Доказать, что сходится абсолютно ряд

Используя признак Даламбера, рассмотрим

Так как , то ряд сходится абсолютно.

Заметим, что сходится абсолютно любой ряд вида , где — любое комплексное число.

Свойства абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами

Как и в действительной области, для абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами справедливы те же правила действий, что и с конечными суммами.

1. В абсолютно сходящихся рядах допустима любая перестановка и группировка членов (даже бесконечного их числа).

Например, если ряд сходится абсолютно, то сходятся и ряды, полученные группировкой членов этого ряда, например и — ряды членов с четными и нечетными номерами, причем .

2. Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать по правилу перемножения многочленов.

Пример 1.44. Найти произведение рядов и

Как отмечено в примере 1.43, ряды вида — абсолютно сходятся при любом фиксированном . Поэтому сомножителями являются абсолютно сходящиеся ряды. Перемножим их по правилу перемножения многочленов:

Перепишем последнее выражение следующим образом:

Общий член этого ряда имеет вид , или, согласно формуле бинома Ньютона, . Таким образом, окончательно получаем