ГЕОМЕТРИЯ. Учебник для 7 класса общеобразовательных учебных заведений. Рекомендовано Министерством образования и науки Украины

1 А. Г. Мерзляк В. Б. Полонский М. С. Якир ГЕОМЕТРИЯ Учебник для 7 класса общеобразовательных учебных заведений Рекомендовано Министерством образования и науки Украины Харьков «Гимназия» 2016

2 УДК :5 1 4 ББК я М 52 Рекомендовано Министерством образования и науки Украины (приказ МОН Украины от ) Мерзляк А. Г. Геометрия : учеб. для 7 кл. общеобразоват. учеб. заведений / А. Г. М ерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. X. : Гимназия, с. : ил. В В Ы УДК 373Л67Л:514 ББК 22Л51я721 А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир, 2015 ООО ТО «Гимназия*, оригинал-макет, ХоВМ художественное оформление, 2015

3 ОТ АВТОРОВ УЧЕНИКАМ Дорогие семиклассники! Вы начинаете изучать новый школьный предмет геометрию. Обратите внимание, что в словах «география» и «геометрия» одинаковая часть «гео», что в переводе с греческого означает «земля». Но если на уроках географии в 6 классе вы действительно занимались землеописанием («графия» по-гречески «описание»), то на уроках геометрии вам не придется заниматься землемерием («метрео» по-гречески «мерить»). Геометрия одна из самых древних наук. Ее название можно объяснить тем, что зарождение и развитие геометрии были тесно связаны с разнообразной практической деятельностью человека: разметкой границ земельных участков, строительством зданий, дорог, оросительных каналов и других сооружений, то есть геометрия, как говорят в таких случаях, была прикладной наукой. Постепенно, шаг за шагом человечество накапливало знания, и геометрия превратилась в красивую и совершенную, строгую и последовательную математическую теорию. Знакомиться с этой наукой и учиться применять полученные знания на практике вы и будете на уроках геометрии. Знать геометрию чрезвычайно важно. Действительно, посмотрите вокруг везде геометрия, точнее, геометрические фигуры: отрезки, треугольники, прямоугольники, прямоугольные параллелепипеды, шары и т. п.

4 4 От авторов а б Рис. 1. Архитектурные сооружения: а гостиница «Салют» (г. Киев); б административное здание (г. Лондон) Рис. 2. Сырецкая телевизионная башня (г. Киев) Без глубоких геометрических знаний не могли появиться сложные строительные конструкции (рис. 1,2), корабли и самолеты (рис. 3) и даже детали детского конструктора и узоры вышивок (рис. 4). Для создания узоров мастерица должна иметь представление о таких геометрических понятиях, как симметрия и параллельный перенос. Не зная геометрии, невозможно стать хорошим инженером-конструктором, токарем, столяром, ученым, архитектором, дизайнером, модельером, специалистом в области компьютерной графики и т. д. Вообще, геометрические знания важнейшая составляющая человеческой культуры. а Рис. 3. Машиностроительные конструкции: а корабль на стапелях Николаевского судостроительного завода; б самолет Ан-225 («Мрия») б

5 От авторов 5 а Рис. 4. Геометрия в быту: а детский конструктор; б узор вышивки Геометрия очень интересный предмет. Мы надеемся, что вы в этом скоро убедитесь, и поможет этому учебник, который вы держите в руках. Познакомьтесь с его структурой. Учебник разделен на четыре параграфа, каждый из которых состоит из пунктов. В пунктах изложен теоретический материал. Изучая его, особое внимание обращайте на текст, напечатанный жирным шрйфтом, ж ирным курсивом и курсивом; так в книге выделены определения, правила и важнейшие математические утверждения. Как правило, изложение теоретического материала завершается примерами решения задач. Эти записи можно рассматривать как один из возможных образцов оформления решения. К каждому пункту подобраны задачи для самостоятельного решения, к которым мы советуем приступать только после усвоения теоретического материала. Среди заданий есть как простые и средние по сложности упражнения, так и трудные задачи (особенно отмеченные «звёздочкой» (*)). Каждый пункт завершается рубрикой «Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте». В ней собраны задачи, для решения которых нужны не специальные геометрические знания, а смекалка, изобретательность и сообразительность. Эти задачи полезны, как витамины: они развивают «геометрическое зрение» и интуицию. Кроме того, в учебнике вы сможете прочитать интересные рассказы по истории геометрии. Дерзайте! Желаем успеха! б

6 6 От авторов УЧИТЕЛЯМ Уважаемые коллеги! Очевидно, что в рамках общеобразовательной школы невозможно реализовать формально-логический принцип построения курса геометрии: положить в основу систему аксиом, а далее строить изложение дедуктивно, то есть доказывать теоремы логически строго, основываясь на аксиомах и ранее доказанных фактах. Это можно объяснить тем, что количество учеников (особенно семиклассников), склонных к дедуктивному мышлению, невелико. На самом деле большинству присущ наглядно-образный тип мышления. Поэтому для ребенка апелляция к наглядной очевидности совершенно естественна и оправданна. Исходя из сказанного, в основу данного учебника положен наглядно-дедуктивный принцип в сочетании с частичной аксиоматизацией. Мы считаем, что цель изучения геометрии в школе это не только развитие логического мышления и умения проводить доказательство. Авторы учебника ставят более широкую цель: уточнить представление учащихся об элементарных геометрических объектах (точка, прямая, луч, отрезок, угол), ознакомить их с важнейшими свойствами базовых фигур элементарной геометрии (треугольник, окружность, четырехугольник и т. п.), развить у них потребность в доказательстве, то есть заложить основы дедуктивного и эвристического мышления, а главное научить учащихся применять свойства геометрических фигур при решении практических и теоретических задач. Мы надеемся, что этот учебник поможет в реализации указанных целей. В книге собран обширный и разнообразный дидактический материал. Однако за один учебный год все задачи решить невозможно, да в этом и нет никакой необходимости. Вместе с тем гораздо удобнее работать, когда есть большой запас задач. Это позволит реализовать принципы уровневой дифференциации и индивидуального подхода в обучении.

7 От авторов 7 Зеленым цветом отмечены номера задач, рекомендуемых для домашней работы, синим цветом номера задач, которые по усмотрению учителя (с учетом индивидуальных особенностей учащихся класса) можно решать устно. Давайте превратим школьный курс геометрии в понятный и привлекательный предмет. Желаем творческого вдохновения и терпения. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ задания, соответствующ ие начальному и среднему уровням учебных достижений; задания, соответствующие достаточному уровню учебных достижений; задания, соответствую щ ие вы сокому уровню учебных достижений; задачи для математических круж ков и факультативов; клю чевы е задачи, результат которых может быть использован для решения других задач; доказательство теоремы, соответствующее достаточному уровню учебных достижений; доказательство теоремы, соответствующее высокому уровню учебных достижений; доказательство теоремы, не обязательное для изучения; окончание доказательства теоремы; окончание решения задачи; рубрика «Когда сделаны уроки». Равны е отрезки на чертеж ах обозначены одинаковым количеством черточек, равные углы одинаковым количеством дуг, за исключением отрезков и углов, которые требуется найти.

8 ВСТУПЛЕНИЕ Что изучает геометрия? Хотя геометрия новый для вас учебный предмет, однако на уроках математики вы уже знакомились с азами этой мудрой науки. Так, все геометрические фигуры, изображенные на рисунке 5, вам хорошо известны. В М N Прямая а Отрезок АВ Луч МЫ Угол РОМ ( Z РОМ) Ломаная АВСйЕР Треугольник АВС Прямоугольник АВСй Вг Окружность Круг А1/ / в / / / Прямоугольный параллелепипед ДбСОДДСД Многоугольники Рис. 5

9 Рис. 6 Рис. 7 Вы умеете с помощью линейки соединять две точки отрезком (рис. 6 ), с помощью циркуля строить окружность (рис. 7), с помощью линейки и угольника строить перпендикулярные и параллельные прямые (рис. 8 ), измерять длину отрезка и строить отрезок заданной длины с помощью линейки с миллиметровыми делениями (рис. 9), находить величину угла и строить угол заданной величины с помощью транспортира (рис. 1 0 ), классифицировать треугольники (см. форзац). Рис. 8 Рис. 9

10 10 Рис. 10 Однако знать, как «выглядит» фигура, или уметь выполнять простейшие построения это всего лишь самые начальные знания науки о свойствах геометрических фигур, то есть геометрии. При изучении сист емат ического курса геометрии вы будете постепенно, в определенной последовательности изучать свойства геометрических фигур, а значит, и сами фигуры, как уже знакомые вам, так и новые. Это означает, что вы должны научиться, используя одни свойства фигуры, находить, а главное, доказывать другие ее свойства. Школьный курс геометрии традиционно делят на планиметрию и стереометрию. Планиметрия изучает фигуры на плоскости («планум» в переводе с латинского «плоскость»), стереометрия фигуры в пространстве («стереос» в переводе с греческого «пространственный»). Итак, мы приступаем к изучению планиметрии.

11 ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ИХ СВОЙСТВА В этом параграфе рассматриваются знакомые вам из курса математики предыдущих классов геометрические фигуры, а именно: точки, прямые, отрезки, лучи и углы. Вы узнаете больше о свойствах этих фигур. Некоторые из этих свойств научитесь доказывать. Слова определение, теорема, аксиома станут для вас привычными, понятными и часто употребляемыми. щштштт ИМ! щт.

12 12 1 Простейшие геометрические фигуры и их свойства 1. Точки и прямые Точка самая простая геометрическая фигура. Это единственная фигура, которую нельзя разбить на части. Например, каждая из фигур, изображенных на рисунке 1 1, разбита на части. И даже о фигуре, изображенной на рисунке 12, которая состоит из двух точек, можно сказать, что она состоит из двух частей: точки А и точки В. Рис. 11 Рис. 12 Рис. 13 На рисунке 13 изображены прямая а и две точки А и В. Говорят, что точка А принадлежит прямой а, или точка А лежит на прямой а, или прямая а проходит через точку А, и, соответственно, точка В не принадлежит прямой а, или точка В не лежит на прямой а, или прямая а не проходит через точку В. Прямая это геометрическая фигура, обладающая определенными свойствами. О сновное св о й ство прям ой. Через любые две точки1 можно провести прямую, и притом только одну. Почему это свойство прямой считают основным? Пусть о некоторой линии известно лишь то, что она проходит через точки А и Б. Для того чтобы составить представление об этой фигуре, такой информации явно недостаточно. Ведь через точки А и В можно провести много различных линий (рис. 14). Прямая же задается этими точками однозначно. В этом и состоит суть основного свойства прямой. 1 Здесь и в дальнейш ем, говоря «две точки», «три точки», «две прямые» и т. п., будем подразумевать, что это разные точки и разные прямые. Случай их совпадения будем оговаривать особо.

13 1. Точки и прямые 13 Это свойство позволяет обозначать прямую, называя две любые ее точки. Так, прямую, проведенную через точки М и Ы, называют «прямая М2У» (или «прямая ЫМ»), Основное свойство геометрической фигуры еще называют аксиомой (более подробно об аксиомах вы узнаете в п. 6 ). Если надо разъяснить смысл какого-либо понятия (термина), то используют определения. Например: 1 ) ч асам и называют прибор для измерения времени; 2 ) геом етр и я это раздел математики, изучающий свойства фигур. Определения есть и в геометрии. О пределение. Две прямые, имеющие общую точку, называют п ер есекаю щ и м и ся. На рисунке 15 изображены прямые а и Ь, пересекающиеся в точке О. Часто справедливость (истинность) какого-либо факта устанавливают с помощью логических рассуж дений. Рассмотрим следующую задачу. Известно, что все жители Геометрической улицы математики. Женя живет по адресу ул. Геометрическая, 5. Является ли Женя математиком? По условию задачи Женя живет на Геометрической улице. А поскольку все жители этой улицы математики, то Женя математик. Приведенные логические рассуждения называют доказательством того факта, что Женя математик. В математике утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства, называют теоремой. Т еор ем а 1.1.Л ю бы е две пересекаю щ иеся прям ые им е ют т олько одну общ ую т очку. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что пересекающиеся прямые а и Ь, кроме общей точки А, имеют еще одну общую точку В (рис. 16). Тогда через две точки А и В Рис. 15 Рис. 16

14 14 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства оо проходят две прямые. А это противоречит основному свойству прямой. Следовательно, предположение о существовании второй точки пересечения прямых а и Ъ неверно. 1. Какую фигуру нельзя разбить на части? 2. Сформулируйте основное свойство прямой. 3. Какое свойство прямой позволяет обозначать ее, называя любые две точки прямой? 4. Для чего используют определения? 5. Какие две прямые называют пересекающимися? 6. Как называют утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства? 7. Сформулируйте теорему о двух пересекающихся прямых. 1. Проведите прямую, обозначьте ее буквой т. Отметьте точки А и В, лежащие на этой прямой, и точки С, X), Е, не лежащие на ней. Отметьте точки М и К и проведите через них прямую. Отметьте на этой прямой точку Е. Запишите все возможные обозначения полученной прямой. 3. Проведите прямые а и Ъ так, чтобы они пересекались. Обозначьте точку их пересечения буквой С. Принадлежит ли точка С прямой а? прямой Ы 4 Отметьте три точки так, чтобы они не лежали на одной прямой, и через каждую пару точек проведите прямую. Сколько образовалось прямых? 5. Отметьте четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. 6.* Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Отметьте точки пересечения этих прямых. Сколько можно получить точек пересечения?

15 1. Точки и прямые Отметьте четыре точки так, чтобы при проведении прямой через каждые две из них на рисунке: 1) образовалась одна прямая; 2) образовались четыре прямые; 3) образовалось шесть прямых. Проведите эти прямые. 8. Пользуясь рисунком 17: 1) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой а; прямой М К ; 2) укажите все отмеченные точки, не принадлежащие прямой а; прямой М К; 3) определите, пересекаются ли прямые а и М К; 4) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой а, но не принадлежащие прямой МК. Рис. 17 Рис Пользуясь рисунком 18, укажите: 1) какие из отмеченных точек принадлежат прямой р, а какие не принадлежат ей; 2) каким прямым принадлежит точка А; точка В; точка С; точка I); точка Е; 3) какие прямые проходят через точку С; точку В; точку А; 4) в какой точке пересекаются прямые /г и р; прямые т ик; 5) в какой точке пересекаются три из четырех изображенных на рисунке прямых.

16 16 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 10.* Точка С принадлежит прямой АВ. Являются ли различными прямые АВ и АС? Ответ обоснуйте. 11.* Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются, причем через каждую точку пересечения проходят только две прямые. Сколько точек пересечения при этом образовалось? 12.** Как надо расположить шесть точек, чтобы они определяли шесть прямых? 13. Данную прямую пересекают четыре прямые. Сколько может образоваться точек пересечения этих прямых с данной? 14.** Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения может образоваться? 15. Провели пять прямых, каждые две из которых пересекаются. Каково наименьшее возможное количество точек пересечения этих прямых? Какое наибольшее количество точек пересечения может образоваться? 16.* Можно ли провести шесть прямых и отметить на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки? 17.* На плоскости проведены три прямые. На первой прямой отметили пять точек, на второй семь точек, а на третьей три точки. Каким может быть наименьшее количество отмеченных точек? 18.* Можно ли отметить несколько точек и провести несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежали ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходили ровно три из проведенных прямых? НАБЛЮДАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУИРУЙТЕ, ФАНТАЗИРУЙТЕ 19. Составьте квадрат из нескольких фигур, каждая из которых равна фигуре, изображенной на рисунке 19. рис. 19

17 п Р у 2. Отрезок и его длина Отрезок и его длина На рисунке 20 изображена прямая а, проходящая через точки А я В. Эти точки ограничивают часть прямой а, выделенную красным цветом. Такую часть прямой вместе с точками А и В называют отрезком, а точки А и В концами этого отрезка. Рис. 20 Рис. 21 Для любых двух точек существует единственный отрезок, для которого эти точки являются концами, то есть отрезок своими концами задает ся однозначно. Поэтому отрезок обозначают, называя его концы. Например, отрезок, изображенный на рисунке 21, обозначают так: МЫ или ЛГМ (читают: «отрезок МЫ» или «отрезок ЫМ»), На рисунке 22 изображены отрезок АВ и точка X, принадлежащая этому отрезку, но не совпадающая ни с одним из его концов. Точку X называют внутренней точкой отрезка АВ. В этом случае также говорят, что точка X лежит между точками А и В. г Рис. 22 Рис. 23 I _ В Таким образом, отрезок АВ состоит из точек А и Б, а также всех точек прямой АВ, лежащих между точками А л В. О пределение. Два отрезка называют р авн ы м и, если их можно совместить наложением. На рисунке 23 изображены равные отрезки АВ и С >. Пишут: АВ = С ). Вы знаете, что каждый отрезок имеет определенную длину и для ее измерения надо выбрать единичный отрезок. В качестве единичного можно выбрать любой отрезок.

18 18 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Л 1 * 3 В 0 _ J--- Рис. 24 Рис. 25 Например, будем считать отрезок МЫ на рисунке 24 единичным. Этот факт записывают так: МЫ = 1 ед. Тогда считают, что длина отрезка АВ равна трем единицам длины, и записывают: АВ = 3 ед. Также принята запись АВ = 3, ее чита- 2 ют: «отрезок АВ равен трем». Для отрезка С > имеем: С1) = -. На практике чаще всего используют такие единичные отрезки: 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км. В зависимости от выбора единицы длины меняется числовое значение длины отрезка. Например, на рисунке 25 имеем: АВ = 17 мм, или АВ = 1,7 см, или АВ = 0,17 дм и т. д. На производстве и в быту используют различные приборы для измерения длины отрезка (рис. 26): линейку с делениями, рулетку, штангенциркуль, микрометр, полевой циркуль. Ш тангенциркуль Микрометр Полевой циркуль Рис. 26

19 2. Отрезок и его длина 19 Равные отрезки имеют равны е длины, и наоборот, если длины отрезков равны, то равны и сами отрезки. Если длина отрезка АВ больше длины отрезка МЛГ, как, например, на рисунке 24, то говорят, что отрезок АВ больше отрезка МЫ, и записывают: АВ > МЫ. Также можно сказать, что отрезок МЛГ меньше отрезка АВ, и записать: МЫ < АВ. В дальнейшем, говоря «сумма отрезков», будем подразумевать сумму длин этих отрезков. О сновное сво й ство длины о тр езк а. Если точка С является внутренней точкой отрезка АВ, то отрезок АВ равен сумме отрезков АС и СВ (рис. 27), то есть АВ = АС + СВ. А С В А С В А В С_ АВ = АС + СВ Рис. 27 Рис. 28 Рис. 29 О пределение. Р асстоян и ем между точками А и В называют длину отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними считают равным нулю. Определение. Серединой отрезка АВ называют такую его точку С, что АС = СВ. На рисунке 28 точка С середина отрезка АВ. З а д а ч а. Точки А, В и С принадлежат одной прямой, АВ = 8 см, отрезок АС на 2 см длиннее отрезка ВС. Найдите отрезки1ас и ВС. Р е ш ен и е. В условии не указано, каково взаимное расположение данных точек на прямой. Поэтому рассмотрим три возможных случая. 1) Точка В внутренняя точка отрезка АС (рис. 29). Тогда отрезок АС длиннее отрезка ВС на длину отрезка АВ, то есть на 8 см. Это противоречит условию. Следовательно, такой случай невозможен. 1 Часто вместо «Найдите длину отрезка. » говорят: «Найдите отрезок. ».

20 20 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 2) Точка С внутренняя точка отрезка АВ (рис. 30). В этом случае АС + ВС = АВ. Пусть ВС = х см, тогда АС = = (х + 2) см. Имеем: х х = 8 ; х = 3. Следовательно, ВС = 3 см, АС = 5 см. А С В В А С Рис. 30 Рис. 31 3) Точка А внутренняя точка отрезка ВС (рис. 31). В этом случае АВ + АС = ВС и тогда АС < ВС. Это противоречит условию. Следовательно, такой случай невозможен. О т в ет : АС = 5 см, ВС = 3 см. 1. Сколько существует отрезков, концами которых являются две данные точки? 2. Из каких точек состоит отрезок АВ1 3. Какие два отрезка называют равными? 4. Можно ли любой отрезок выбрать в качестве единичного? 5. Что можно сказать о длинах равных отрезков? 6. Что можно сказать об отрезках, имеющих равные длины? 7. Сформулируйте основное свойство длины отрезка. 8. Что называют расстоянием между двумя точками? 9. Чему равно расстояние между двумя совпадающими точками? 10. Какую точку называют серединой отрезка АВ7 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 20. Отметьте две точки А и В и проведите через них прямую. Отметьте точки С, и Е, принадлежащие отрезку АВ, и точки Е, М тл.к, которые не принадлежат отрезку АВ, но принадлежат прямой АВ.

21 2. Отрезок и его длина Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько образовалось отрезков? 22. Отметьте на прямой точки А, В, С я Б так, чтобы точка С лежала между точками А и В, а точка X) между точками В и С. 23. Отметьте на прямой точки А, В я С так, чтобы выполнялось равенство АС = АВ + ВС. В а Б V А С Ув X 7 г> б Рис Сравните на глаз отрезки АВ и СХ) (рис. 32). Проверьте свой вывод измерением. 25.с Сравните на глаз отрезки АВ и ВС (рис. 33). Проверьте свой вывод измерением. в в > ж / УПРАЖНЕНИЯ Н Н В Н Н Н Н Н Н Н Ж 26. Назовите все отрезки, изображенные на рисунке 34.

22 22 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 27. Найдите длину каждого из отрезков, изображенных на рисунке 35, если единичный отрезок равен отрезку: 1) АВ; 2) МЫ. Я. т А<Тл р А, и IV д7 Рис. 35 Рис Какая из точек, отмеченных на рисунке 36, лежит между двумя другими? Запишите соответствующее равенство, следующее из основного свойства длины отрезка. 29. Между какими точками лежит точка В (рис. 37)? Для каждого случая запишите соответствующее равенство, следующее из основного свойства длины отрезка. 30. Точка В внутренняя точка отрезка М Е. Найдите: 1) расстояние между точками М и Е, если М Б = 1,8 дм, Б Е = 2,6 дм; 2) длину отрезка М Б, если М Е = 42 мм, Б Е = 1,5 см. А В С Рис. 37 Рис Точки А, В я С лежат на одной прямой (рис. 38). Какие из следующих утверждений верны: 1) АВ + ВС = АС; 2) АС + АВ = ВС? 32. Точка К является серединой отрезка МЫ. Можно ли совместить наложением: 1) отрезки М К и КЫ; 2) отрезки М К и МЫ?

23 2. Отрезок и его длина Точка К середина отрезка МЫ, точка Е середина отрезка КЫ, ЕЫ = 5 см. Найдите отрезки М К, МЕ и МЫ. 34. Точка С внутренняя точка отрезка АВ, длина которого равна 20 см. Найдите отрезки АС и ВС, если: 1) отрезок АС на 5 см больше отрезка ВС; 2) отрезок АС в 4 раза меньше отрезка ВС; 3) АС : ВС = 9 : Точка К принадлежит отрезку СБ, длина которого равна 28 см. Найдите отрезки СК и К Б, если: 1) отрезок СК на 4 см меньше отрезка К Б ; 2) отрезок СК в 6 раз больше отрезка К Б ; 3) С К :К Б = 3 :4. 36/ Отрезки АВ и СБ равны (рис. 39). Докажите, что отрезки АС и В Б также равны. Рис. 39 Рис Отрезки М Е и РЫ равны (рис. 40). Докажите, что МЕ = ЕЫ. 38.' Точка С делит отрезок АВ, длина которого равна а, на два отрезка. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и ВС. 39. Точки А, Б и С лежат на одной прямой. Найдите отрезок ВС, если АВ = 24 см, АС = 32 см. Сколько решений имеет задача? 40. На прямой отмечены точки А, Б и С так, что АВ = 15 см, АС = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и АС. 41. Отрезок ЕР равен 12 см. Найдите на прямой ЕР все точки, сумма расстояний от каждой из которых до концов отрезка ЕР равна: 1) 12 см; 2) 15 см; 3) 10 см.

24 24 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 42." Через точки А я В проведена прямая. Где на этой прямой лежит точка С, расстояние от которой до точки В в 2 раза больше расстояния от нее до точки А? 43. Отрезок, длина которого равна 32 см, разделили на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 18 см. Найдите длину среднего отрезка. 4 4." Какое наименьшее количество внутренних точек надо отметить на отрезках, изображенных на рисунке 41, чтобы на каждом из них было отмечено по две внутренние точки? Рис. 41 Сколько точек надо отметить между точками А и В, чтобы вместе с отрезком АВ образовалось шесть отрезков? 46." На шкале линейки нанесены только деления 0 см, 5 см и 13 см (рис. 42). Как, пользуясь этой линейкой, можно построить отрезок длиной: 1) 3 см; 2 ) 2 см; 3) 1 см? 47.* На шкале линейки нанесены только деления 0 см, 7 см и 11 см. Т

т Как, пользуясь этой линейкой, 0 13 можно построить отрезок длиной: 1) 8 см; 2) 5 см? Рис 4 2

25 3. Луч. Угол. Измерение углов 25 КОНСТРУИРУЙТЕ, ФАНТАЗИРУЙТЕ 48. Из прямоугольников размерами 1x1, 1x2, 1x3. 1 х 13 составьте прямоугольник, каждая сторона которого больше Луч. Угол. Измерение углов Проведем прямую АВ и отметим на ней произвольную точку О. Эта точка разбивает прямую на две части, выделенные на рисунке 43 разными цветами. Каждую из этих частей вместе с точкой О называют лучом или полупрямой. Точку О называют началом луча. Каждый из лучей, изображенных на рисунке 43, состоит из точки О и всех точек прямой АВ, лежащ их по одну сторону от точки О. А О В Рис. 43 Рис. 44 Это позволяет обозначать луч, называя две его точки: первой обязательно указывают начало луча, второй любую другую точку, принадлежащую лучу. Так, луч с началом в точке О (рис. 44) можно обозначить ОМ или ОЫ. Лучи ОА и ОВ (рис. 43) дополняют друг друга до прямой. Также можно сказать, что объединением этих лучей является прямая. О пределение. Два луча, имеющих общее начало и лежащих на одной прямой, называют дополнительн ы м и.

26 26 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства А В С Например, лучи ВС и ВА дополнительные (рис. 45). Их объединением Рис. 45 является прямая АС. Заметим, что, объединив лучи СА и АС, мы тоже получим прямую АС. Однако эти лучи не являются дополнительными: у них нет общего начала. На рисунке 46, а изображена фигура, состоящая из двух лучей О А и ОБ, имеющих общее начало. Эта фигура делит плоскость на две части, выделенные разными цветами. Каждую из этих частей вместе с лучами ОА и ОБ называют углом. Лучи ОА и ОБ называют сторонами угла, а точку О вершиной угла. Рис. 46 Как. видим, углы на рисунке 46, а внешне существенно различаются. Это различие определено следующим свойством. На лучах О А и ОБ выберем произвольно точки М и N (рис. 46, б). Отрезок MN принадлежит «зеленому» углу, а «ему» углу принадлежат лишь концы отрезка. В дальнейшем, говоря «угол», будем подразумевать лишь тот из них, который содержит любой отрезок с концами на его сторонах. Ситуации, в которых придется рассматривать углы, не обладающие этим свойством, будут специально оговариваться. Существует несколько способов обозначения углов. Угол на рисунке 47 можно О обозначить так: ZMON, или ZNOM, или просто ZO (читают соответственно: «угол MON», «угол NOM», «угол О»). Рис. 47

27 На рисунке 48 изображено несколько углов, имеющих общую вершину. Здесь обозначение угла одной буквой может привести к путанице. В таких случаях углы удобно обозначать с помощью цифр: Z l, Z 2, Z3 (читают соответственно: «угол один», «угол два», «угол три»). 3. Луч. Угол. Измерение углов 27 О пределение. Угол, стороны которого являются допол нительными лучами, называют вер н у ты м Рис. 49 Рис. 50 На рисунке 49 лучи ОА и ОВ являются дополнительными, поэтому углы, выделенные зеленым и желтым цветами, являются развернутыми. Любая прямая делит плоскость на две полуплоскости, для которых эта прямая является границей (рис. 50). Считают, что прямая принадлежит каждой из двух полуплоскостей, для которых она является границей. А поскольку стороны развернутого угла образуют прямую, то можно сказать, что развернутый угол это полуплоскость, на границе В которой отмечена точка вершина угла. О п р ед е л ен и е. Два угла называют равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 51 изображены равные углы АВС и М ИК. Пишут: ZABC = /.М ИК. Рис. 51

28 28 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Понятно, что все развернутые углы равны. На рисунке 52 изображены угол АОВ и луч ОС, принадлежащий этому углу, но отличный от его сторон. Говорят, что луч ОС проходит между сторонами угла АОВ и делит его на два угла АОС и СОВ. Рис. 52 Рис. 53 О пределение. Б и ссектр и сой угла называют луч с началом в вершине угла, делящий этот угол на два равных угла. На рисунке 53 луч ОК биссектриса угла АОВ. Значит, /А О К = /К О В. Рис. 54 Рис. 55 Вы знаете, что каждый угол имеет величину. Для ее измерения нужно выбрать единицу измерения единичный угол. Выбрать его можно, например, так. Разделим развернутый угол на 180 равных углов (рис. 54). Угол, образованный двумя соседними лучами, принимают за единичный. Его величину называют градусом и записывают: 1. Например, градусная мера (величина) угла АОВ (рис. 55) равна 2 0 (этот факт легко установить с помощью транспор

29 3. Луч. Угол. Измерение углов 29 тира). В таком случае говорят, что угол АОВ равен 20, и записывают: ААОВ = 20. Из принятого определения градуса следует, что градусная мера развернутого угла равна 180. На рисунке 56, а изображен старинный угломерный прибор астролябия (в переводе с греческого «схватывающая звезды»). На протяжении многих веков именно такой прибор помогал мореплавателям находить путь, а астрономам определять положение звезд. В наше время для измерения углов на практике используют астролябию (рис. 56, б), а также другие приборы специального назначения: теодолит (рис. 57) для измерения на местности, буссоль (рис. 58) в артиллерии, секстант (рис. 59) в морском деле. Рис. 58. Буссоль Рис. 56. Астролябия: Рис. 57. Теодолит Рис. 59. Секстант а старинная; б современная Для более точного измерения углов используют части градуса: градуса равна одной минуте (1'), то есть 1 = 60'; 60 минуты называют секундой (1"), то есть 1' = 60". Напри- 60 мер, запись 23 15'11" означает, что градусная мера угла составляет 23 градуса 15 минут 11 секунд.

30 30 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Существуют и другие единицы измерения углов, например, в морском деле используют единицу 1 румб (11 15'). О и р е д е л е к и е У гол, градусная мера которого равна 90, называют рямь. Угол, градусная мера которого меньше 90, называют остр ы м. Угол, градусная мера которого больше 90, но меньше 180, называют тупы м. На рисунке 60 изображены углы каждого из трех указанных видов. Прямой угол Острый угол Рис. 60 VТупой угол Равные углы имеют равны е величины, и наоборот, если величины углов равны, то равны и сами углы. Если величина угла АВС больше величины угла МИР, то говорят, что угол АВС больше угла МИР, и записывают: /А В С > /М И Р. Также говорят, что угол МИР меньше угла АВС, и записывают: /М Ы Р < /А ВС. В дальнейшем, говоря «сумма углов», будем подразумевать сумму величин этих углов. О сновное св о й ство величины угл а. Если луч ОС делит угол АОВ на два угла АОС и СОВ, то /А О В = /А О С + + /С О В (рис. 61). Рис. 61 Рис. 62 в

31 3. Луч. Угол. Измерение углов 31 З ад ач а. На рисунке 62 /АМ С = /Б М В, /В М С = 118. Найдите угол1амв. Р е ш ен и е. Имеем: /А М С = /А М В + /В М С, /Б М В = /Б М С + /В М С. Поскольку /АМ С = /Б М В, то /А М В = /ОМ С. Запишем: /А М В + /В М С + /С М И = /А М В = 180. Тогда 2 /А М В = 180. Отсюда /А М В = 31. О т вет,: 31. # 1. Как называют фигуру, образованную точкой, принадлежащей прямой, и одной из частей, на которые эта точка делит прямую? Как при этом называют данную точку? 2. Как обозначают луч? 3. Какие два луча называют дополнительными? 4. Как называют фигуру, образованную двумя лучами с общим началом и одной из частей, на которые эти лучи делят плоскость? Как при этом называют данные лучи? их общее начало? 5. Как обозначают угол? 6. Какой угол называют развернутым? 7. Как называют части, на которые прямая делит плоскость? 8. Какие два угла называют равными? 9. Что называют биссектрисой угла? 10. В каких единицах измеряют углы? 11. Какова градусная мера развернутого угла? 12. Как называют угол, градусная мера которого равна 90? 13. Какой угол называют острым? 14. Какой угол называют тупым? 15. Что можно сказать о величинах равных углов? 16. Что можно сказать об углах, величины которых равны? 17. Сформулируйте основное свойство величины угла. угол. ». 1 Часто вместо «Найдите градусную меру угла. » говорят: «Найдите

32 32 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 49. Проведите два луча АВ и АС так, чтобы они не были дополнительными. Постройте для каждого из этих лучей дополнительный луч. Обозначьте и запишите все образовавшиеся лучи. 50. Проведите отрезок АВ и два луча АВ и ВА. Являются ли эти лучи дополнительными? Ответ обоснуйте. 51. Начертите угол МЫЕ и проведите лучи ЫА и N0 между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы. Проведите лучи О А, ОВ, ОС и О В так, чтобы луч ОС проходил между сторонами угла АО В, а луч О В между сторонами угла ВОС. 53. Начертите два луча так, чтобы их общая часть была: 1) точкой; 2 ) отрезком; 3) лучом. г " УПРАЖНЕНИЯ 54. Прямая ЕР пересекает прямые АВ и СО (рис. 63). Укажите: 1) все образовавшиеся лучи с началом в точке М; 2 ) все пары дополнительных лучей с началом в точке К. 55. Запишите все лучи, изображенные на рисунке 64. Укажите, какие из них являются дополнительными лучами с началом в точке О. В* Б Е Рис. 63 Рис. 64 Рис. 65 Можно ли угол, изображенный на рисунке 65, обозначить так: 1) /Л В С ; 3) ZADC; 5) /А С Е ; 7) /В В Е ; 2) /А С В ; 4) /В С А ; 6 ) /В С В ; 8 ) /Е С В?

33 3. Луч. Угол. Измерение углов 33 Запишите все углы, изображенные на рисунке 6 6. Рис. 66 Рис. 67 Рис. 68 На рисунке 67 /А О В = /ВО С = /С О В = /Б О Е = /Е О Р. 1) Какой луч является биссектрисой угла АОС? угла ВОР? угла ВОР? 2) Биссектрисой каких углов является луч ОС? )9. На рисунке 6 8 луч ОС биссектриса угла АОВ. Можно ли совместить наложением: 1) углы АОС и ВОС; 2) углы АОС и АОВ? 60. Луч В В делит угол АВС на два угла. Найдите: 1) угол АВС, если /А В В = 54, /С В В = 72 ; 2) угол СВВ, если /А В С = 158, /А В В = Луч ОР проходит между сторонами угла МОК. Найдите угол МОР, если /М О К = 172, /Р О К = Верно ли утверждение: 1) любой угол, который меньше тупого, острый; 2 ) угол, который меньше развернутого, тупой; 3 ) угол, который меньше тупого угла в 2 раза, острый; 4 ) сумма двух острых углов больше прямого угла; 5) угол, который меньше развернутого угла в 2 раза, больше любого острого угла; 6 ) угол, который больше прямого, тупой? Из вершины прямого угла ВОМ (рис. 69) проведены два луча ОА и ОС так, что /ВО С = 74, /АОМ = = 62. Найдите угол АОС. Рис. 69

34 34 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства (jfco 64. Из вершины развернутого угла АСР (рис. 70) провели два луча СТ и CF так, что ZACF = 158, ZTCP = 134. Найдите угол TCF. 65. Угол CEF равен 152, луч ЕМ проходит между его сторонами, угол СЕМ на 18 больше угла FEM. Найдите углы СЕМ и FEM. 66. Луч АК принадлежит углу BAD. Найдите углы ВАК и DAK, если угол ВАК в 7 раз меньше угла DAK и ZBAD = На рисунке 71 равные углы отмечены дугами. Найдите углы ABC, М КЕ и STK, если в качестве единичного угла взять: 1) угол ABC; 2) угол М КЕ. В 68/ 69. Рис. 71 Точки А, В и С расположены на прямой так, что АВ = 3,2 см, АС = 4,8 см, ВС = 8 см. Являются ли лучи АВ и АС дополнительными? На рисунке 72 угол ABC прямой, ZABE = ZEBF - ZFBC, лучи BD и В К биссектрисы углов АВЕ и FBC соответственно. Найдите угол D BK. В Рис. 72

35 3. Луч. Угол. Измерение углов 35 Рис. 74 Рис / На рисунке 73 ZAOC = ZCOБ = ZБO.F, луч ОБ биссектриса угла АОС, луч ОЕ биссектриса угла БОБ, ZBO = 72. Найдите угол АОБ. 71/ На рисунке 74 /А О В = /БО С. Есть ли еще на этом рисунке равные углы? Ответ обоснуйте. 72/ Углы РОК и МОЕ равны (рис. 75). Равны ли углы РОМ и КОЕ? 73/ Луч В К является биссектрисой угла СББ, ААВК = 146 (рис. 76). Найдите угол СББ. 74/ Луч В К является биссектрисой угла СББ, ZCББ = 54 (рис. 76). Найдите угол А ВК. 75/ На сколько градусов поворачивается за 1 мин: 1) минутная стрелка; 2 ) часовая стрелка? 76/ Найдите угол между стрелками часов, если они показывают: 1) 3 ч; д 2) 6 ч; 3) 4 ч; 4) 11 ч; 5) 7 ч. 77. Угол АБС равен 30, угол СББ 80. Найдите угол АББ. Сколько решений имеет задача? 78. Найдите угол МОК, если ZMO./V = 120, Z.KCW = 43. Сколько решений имеет задача? 79. Луч, проведенный из вершины прямого угла, делит его на два угла. Докажите, что угол между биссектрисами образовавшихся углов равен Как, имея шаблон угла, равного 70, построить угол, равный 40? 81." Как, имея шаблон угла, равного 40, построить угол, равный: 1) 80 ; 2 ) 160 ; 3) 2 0?

36 36 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 82." Как, используя шаблон угла, равного 13, построить угол, равный 2? 83.* Как построить угол, равный 1, используя шаблон угла, равного: 1) 19 ; 2) 7? 84.* Проведите шесть прямых, пересекающихся в одной точке. Верно ли, что среди образовавшихся при этом углов есть угол меньше 31? КОНСТРУИРУЙТЕ. ФАНТАЗИРУЙТЕ 85. Не отрывая карандаша от бумаги, проведите через девять точек (рис. 77) четыре отрезка (возвращаться в исходную точку не обязательно). Рис См еж ны е и вертикальные углы Определение. Два угла называют, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами. На рисунке 78 углы МОЕ и EON смежные. Сумма см еж ны х углов равна 180. Доказательство. Пусть углы АОС и СОВ смежные (рис. 79). Надо доказать, что /АОС + /С О В = 180. М О N Рис. 78 Поскольку углы АОС и СОВ смежные, то лучи ОА и ОВ являются дополнительными. Тогда угол АО В развернутый. Следовательно, ZAOB = 180. Луч ОС принадлежит углу ЛОВ. По основному свойству величины угла имеем: /АОС + АСОВ = = /А О В = 180. А

37 4. Смежные и вертикальные углы 37 О пределение. Два угла называют вер ти кальн ы м и, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. На рисунке 80 углы АО В и СО Б вертикальные. Очевидно, что при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов, отличных от развернутого. На рисунке 80 углы АОС и ВО > также вертикальные. Те о ; Верт икальны е углы равны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если вертикальные углы являются развернутыми, то они равны. На рисунке 81 углы 1 и 2 вертикальные и отличные от развернутого. Надо доказать, что /А = Z2. Каждый из углов 1 и 2 смежный с углом 3. Тогда Zl-l-ZЗ = -180 и Z2 + Z3 = 180. Отсюда Z l = 180o-Z З и Z2 = 180o-Z З. Получаем, что градусные меры углов 1 и 2 равны, а значит, равны и сами углы. F Рис. 80 Рис. 81 Рис. 82 З ад ач а. На рисунке 82 ZABE = ZDCP. Докажите, что ZFBC + ZBCP = 180. Р е ш ен и е. ZDCP + ZBCP = 180, так как углы DCP и ВСР смежные. Углы DCP и АВЕ равны по условию. Углы А BE и FBC равны как вертикальные. Следовательно, ZDCP = ZFBC. Тогда ZFBC + ZBCP = Какие два угла называют смежными? 2. Чему равна сумма смежных углов? 3. Какие два угла называют вертикальными? 4. Сформулируйте теорему о свойстве вертикальных углов.

38 38 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 8 6. Начертите три угла: острый, прямой и тупой. Для каждого из них постройте смежный угол Начертите два неравных смежных угла'так, чтобы их общая сторона была вертикальной. УПРАЖНЕНИЯ 8 8. Укажите пары смежных углов (рис. 83). М В К А В Б о б Рис. 83 Являются ли углы АВС и ИВЕ вертикальными (рис. 84)? А В >/ Е б Рис Сколько пар смежных углов изображено на рисунке 85? Назовите их. Укажите пары вертикальных углов. 91. Могут ли два смежных угла быть равными: 1) 24 и 156 ; 2) 63 и 107? Ответ обоснуйте. Рис. 85

39 4. Смежные и вертикальные углы Найдите угол, смежный с углом: 1) 29 ; 2) 84 ; 3) 98 ; 4) Может ли пара смежных углов состоять: 1) из двух острых углов; 2 ) из двух тупых углов; 3) из прямого и тупого углов; 4) из прямого и острого углов? Один из смежных углов прямой. Каким является второй угол? 95. Найдите угол, смежный с углом АВС, если: 1) ZAВС = = 36 ; 2) /А ВС = Найдите углы 2, 3 и 4 (рис. 8 6 ), если Z l = Найдите смежные углы, если: 1) один из них на 70 больше другого; 2 ) один из них в 8 раз меньше другого; 3) их градусные меры относятся как 3: Найдите смежные углы, если: 1) один из них в 17 раз больше другого; 2 ) их градусные меры относятся как 19 : Верно ли утверждение: 1) для каждого угла можно построить только один вертикальный угол; 2 ) для каждого угла, отличного от развернутого, можно построить только один смежный угол; 3) если углы равны, то они вертикальные; 4 ) если углы не равны, то они не вертикальные; 5 ) если углы не вертикальные, то они не равны; 6 ) если два угла смежные, то один из них острый, а второй тупой; 7 ) если два угла смежные, то один из них больше другого; 8 ) если сумма двух углов равна 180, то они смежные; 9 ) если сумма двух углов не равна 180, то они не смежные; 1 0 ) если два угла равны, то смежные с ними углы также равны;

40 40 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 1 1 ) если смежные углы равны, то они прямые; 1 2 ) если равные углы имеют общую вершину, то они вертикальные; 13) если два угла имеют общую сторону, то они смежные? Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 140. Докажите, что эти углы вертикальные. 101.* Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если: 1 ) сумма двух из них равна 106 ; 2) сумма трех из них равна 305. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна " Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 87). Найдите сумму Z l + Z2 + Z Прямые АВ, С Б и М К пересекаются в точке О (рис. 8 8 ), ZAOC = 70, ZMOB = 15. Найдите углы БО К, АОМ и АО О. О-ТГ 105.* Найдите угол между биссектрисами смежных углов. 106.* Найдите угол между биссектрисами вертикальных углов. Углы А ВР и Г ВС смежные, ZAB.F = 80o, луч В Б принадлежит углу АВР, /А В Б = 30. Найдите угол между биссектрисами углов БВЕ и РВС. 108.* Углы АОВ и ВОС смежные, луч ОБ биссектриса угла АОВ, угол ВОБ на 18 меньше угла ВОС. Найдите углы АОВ и ВОС. Рис. 87 Рис. 88

41 5. Перпендикулярные прямые 41 М А С К Рис. 89 Найдите смежные углы МКЕ и РКЕ, если угол РКЕ на 24 больше угла РКЕ, где луч Ю*1 биссектриса угла М КЕ. 110.' На рисунке 89 АМАВ + ААСВ = 180. Докажите, что АМАВ = АКСВ. На рисунке 90 АМВС = АВЕЕ. Докажите, что ААВЕ + + ZБ.ED = * Два угла имеют общую сторону, а их сумма равна 180. Можно ли утверждать, что эти углы смежные? НАБЛЮДАЙТЕ, РИСУИТЕ, КОНСТРУИРУЙТЕ/ФАНТАЗИРУЙТЕ 113. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке 91, на шесть частей двумя прямыми. 5. Перпендикулярны е прямые На рисунке 92 отмечены четыре угла, которые образовались при пересечении прямых а и Ь. Легко показать (сделайте это самостоятельно), что если один из а углов прямой (например, угол 1), то углы 2, 3 и 4 также прямые. 1 2 Две прямые называют, если при их г Ъ V 3 4 пересечении образовался прямой угол. На рисунке 92 прямые а и b перпен- Рис. 92 дикулярны. Пишут: a l b или 6 1 а.

42 42 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства На рисунке 93 прямые АВ и ВС не перпендикулярны. При их пересечении образовались пара равных острых углов и пара равных тупых углов. Величину образовавшегося острого угла называют углом между прямыми АО и ВС. Если прямые перпендикулярны, то считают, что угол между ними равен 90. Из сказанного следует, что угол между двумя прямыми не превышает 90. О пределение. Два отрезка называют иерпендикул яри ы м, если они лежат на перпендикулярных прямых. На рисунке 94 отрезки АВ и СВ перпендикулярны. Пишут: АВ 1 СБ. А' А' В 1 г» 1. С > С В I) Рис. 94 Также можно рассматривать перпендикулярность двух лучей, луча и отрезка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисунке 95 изображены перпендикулярные отрезок СВ и луч АВ. На рисунке 96 изображены прямая а и перпендикулярный ей отрезок АВ, конец В которого принадлежит прямой а. Рис. 95 Рис. 96

43 5. Перпендикулярные прямые 43 В таком случае говорят, что из точки А на прямую а опустили перпендикуляр АВ. Точку В называют основанием перпендикуляра АВ. Длину перпендикуляра АВ называют расстоянием от точки А до прямой а. Если точка А принадлежит прямой а, то естественно считать, что расстояние от точки А до прямой а равно нулю. На рисунке 97 изображен перпендикуляр ОМ, опущенный из точки О на прямую АВ. Если основание этого перпендикуляра, точка М, принадлежит отрезку АВ (лучу АВ), то длину отрезка ОМ называют расстоянием от точки О до отрезка АВ (луча АВ). Если точка принадлежит отрезку (лучу), то естественно считать, что расстояние от этой точки до отрезка (луча) равно нулю. Опустим из точки А на прямую а перпендикуляр АВ (рис. 98). Пусть X произвольная точка прямой а, отличная от точки В. Отрезок АХ называют наклонной, проведенной из точки А к прямой а. Теорема 5.1. Через каждую точку прямой проходит только одна прям ая, перпендикулярная данной. Доказательство. Отметим на прямой АВ произвольную точку М и построим прямой угол СМВ (рис. 99). Тогда СМ _1_АВ. Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая М Б, отличная от СМ и перпендикулярная прямой АВ. Рассмотрим случай, когда луч М Б п р и н а д л еж и т углу СМВ. Тогда по основному свойству величины угла ZСМВ = = /С М В + /В М В. Отсюда ZСМВ > ZВ М В. Однако на самом О* А Г.. м в Рис. 97 Рис. 98 Рис. 99

44 44 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства М Рис. 100 деле /С М В = /Б М В = 90. Следовательно, наше предположение неверно. Аналогично рассматривают случай, когда луч МС принадлежит углу БМ В. А Вы умеете через произвольную точку М, не принадлежащую прямой а, проводить прямую Ь, перпендикулярную прямой а (рис. 100). То, что такая прямая Ь единственная, докажем в п Какие две прямые называют перпендикулярными? 2. Каким символом обозначают перпендикулярные прямые? 3. Что называют углом между двумя пересекающимися прямыми? 4. Какие два отрезка называют перпендикулярными? 5. Что называют расстоянием от точки до прямой? 6. Сколько через каждую точку прямой м ож но провести прямых, перпендикулярных данной? & ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 114. Перерисуйте в тетрадь рисунок 101. Пользуясь угольником, проведите через точку М прямую, перпендикулярную прямой а. М * Рис. 101 Проведите прямую с и отметьте на ней точку К. Пользуясь угольником, проведите через точку К прямую, перпендикулярную прямой с.

45 5. Перпендикулярные прямые 45 Проведите прямую d и отметьте точку М, не принадлежащую ей. С помощью угольника проведите через точку М прямую, перпендикулярную прямой d. Начертите угол А ВК, равный: 1) 73 ; 2) 146. Отметьте на луче В К точку С и проведите через нее прямые, перпендикулярные прямым АВ и ВК Начертите два перпендикулярных отрезка так, чтобы они: 1) пересекались и не имели общего конца; 2) не имели общих точек; 3) имели общий конец. 19. Начертите два перпендикулярных луча так, чтобы они: 1) пересекались; 2) не имели общих точек. УПРАЖНЕНИЯ На рисунке 102 прямые АС и DK перпендикулярны. Перпендикулярны ли: 1) отрезки АВ и В К ; 2) отрезки ВС и DF; 3) лучи ВС и ВК ; 4) отрезок АВ и луч FD1 Может ли угол между прямыми быть равным: 1) 1 ; 2) 80 ; 3) 90 ; 4) 92 ; 5) 101? 122. Докажите, что если биссектрисы углов АОВ и ВОС перпендикулярны, то точки А, О и С лежат на одной прямой. 123.' На рисунке 103 АВ LCD, /С О К = 42, /М ОС + /В О К = = 130. Найдите: 1) угол МОК; 2) угол MOD. На рисунке 104 AC -L DK, O B L B F, /D B O = 54. Найдите угол ABF. м с^ / к D / о А О В А В \ с D К \ F Рис. 103 Рис. 104

46 46 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства /К 125.' Угол ЛВС равен 160, лучи В К и ВМ проходят между сторонами этого угла > и перпендикулярны им. Найдите угол М ВК. В 126.' На рисунке 105 В Р 1 А С, BDX.BR. Докажите, что /А В Б = /Р В К. Рис На рисунке 105 ZAБ.D = / Р В К, /.ОВР = ZКВС. Докажите, что ВР ± АС. 128." Из вершины угла АВС, равного 70, проведены лучи БХ) и ВР так, что Б1) 1 ВА, ВР 1 ВС, лучи В Б и ВС принадлежат углу АВР. Найдите углы БВР и АВР. 129.* Пользуясь угольником и шаблоном угла, равного 17, постройте угол, равный: 1) 5 ; 2) Пользуясь угольником и шаблоном угла, равного 20, постройте угол, равный 10. НАБЛЮДАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУИРУЙТЕ, ФАНТАЗИРУЙТЕ 131. На рисунке 106 прямая пересекает все стороны восьмиугольника. Может ли прямая пересекать все стороны тринадцатиугольника, не проходя ни через одну из его вершин? 6. Аксиом ы В предыдущих пунктах были доказаны четыре теоремы. Каждый раз, доказывая новое свойство фигуры, мы опирались на ранее известные геометрические факты. Например, при доказательстве теоремы о вертикальных углах было использовано свойство смежных углов. Руководствуясь этим принципом, мы докажем еще много новых теорем. Но уже сейчас,

47 б. Аксиомы 47 на начальном этапе изучения геометрии, возникает естественный вопрос: если свойства геометрических фигур изучают по принципу «новое из старого», то должны существовать первоначальные факты, и тогда на чем основано доказательство их истинности? Ведь до них никаких истинных утверждений не было. Решить эту проблему можно единственным способом: принять первые свойства без доказательств. Так и поступают математики. Эти свойства называют аксиомами. В качестве аксиом выбирают утверждения, которые просты, очевидны и не вызывают сомнений. Ведь недаром слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «достойный признания». Некоторые аксиомы были сформулированы в предыдущих пунктах. Мы назвали их основны м и свойствами. Часть аксиом мы не выделяли каким-то специальным образом, а просто привели как наглядно очевидные утверждения. Так, в пп. 2, 3 были сформулированы следующие аксиомы: для любых двух точек существует единственный отрезок, для которого эти точки являются концами; каждый отрезок имеет определенную длину; каждый угол имеет определенную величину. Мы опирались и на некоторые другие истинные утверждения, принятые без доказательства, то есть, по сути, на аксиомы, которые, однако, не были сформулированы в явном виде. Например, в п. 1, описывая рисунок 13, мы фактически использовали такую аксиому: какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Аксиомы используют не только в математике. Нередко в обыденной жизни любое истинное утверждение, не требующее обоснования, называют аксиомой. Например, говорят: «После марта наступит апрель. Это аксиома». Аксиомы возникают не только из практики или наблюдений.