Математика 8 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Представьте число 2017 в виде суммы пяти натуральных чисел так, чтобы все цифры, использованные в этих пяти числах, были различны.

Решение. Один из возможных примеров: 2017 = 1976 + 30 + 4 + 2 + 5. Есть и другие представления.

Критерии. Предъявлено хотя бы одно правильное представление, даже без каких-либо пояснений: 7 баллов.

Искомого представления не получено: 0 баллов.

Задание 2. (7 баллов)

В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .

Решение. Углы AXB и XBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BX. Углы XBC и XBA равны, так как BX — биссектриса угла ABC. Получаем, что ∠AXB = ∠XBA, откуда следует, что треугольник AXB — равнобедренный, AB = AX = 6;

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Доказано, что AY = 5, но при этом длина отрезка XY не найдена или найдена неверно: 4 балла.

Доказано, что треугольник ABX равнобедренный и нет дальнейших продвижений: 2 балла.

Приведён только верный ответ: 1 балл.

Задание 3. (7 баллов)

Рыцарский турнир длится ровно 7 дней. К концу четвертого дня сэр Ланселот не успел сразиться лишь с одной четвертью от общего числа участников турнира. А сэр Тристан к этому времени сразился ровно с одной седьмой из тех рыцарей, с кем успел сразиться сэр Ланселот. Какое минимальное количество рыцарей могло участвовать в турнире?

Решение. Пусть Ланселот не сразился с x рыцарями. Тогда общее число рыцарей равно 4x, а сразился Ланселот с 3x — 1 рыцарем (общее количество за вычетом x и самого Ланселота). Тогда Тристан сразился с (3x—1)/7 рыцарей. Чтобы найти наименьшее возможное количество рыцарей, необходимо подобрать минимальное x такое, что 3x—1 делится на 7. Значения x = 1, 2, 3, 4 не подходят, а x = 5 подходит. Таким образом, наименьшее возможное число рыцарей равно 20.

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

За отсутствие обоснования того, что действительно могло быть ровно 20 рыцарей, баллы не снимаются.

Приведён только верный ответ: 2 балла.

Задание 4. (7 баллов)

Володя расставил несколько (возможно 0) шахматных фигур на доску 8 × 8. Лёня заметил, что в каждом квадрате 2 × 2 стоит одинаковое количество фигур. А Влад заметил, что в каждом прямоугольнике 3 × 1 (или 1× 3) стоит одинаковое количество фигур. Сколько фигур было выставлено на доску? (Укажите все варианты и докажите, что других нет.)

Решение. Предположим, что в каждом квадрате 2× 2 стоит m фигур, а в каждом прямоугольнике 1×3 — n фигур. Выделим из доски какой-нибудь прямоугольник 2 × 6. С одной стороны, этот прямоугольник можно разбить на три квадрата 2 × 2, и значит в нём 3m фигур. С другой стороны, его можно разрезать на четыре прямоугольника 1 × 3, и тогда в нём 4n фигур. Получаем соотношение 3m = 4n, откуда n делится на 3. Но n может принимать значения 0, 1, 2, 3. Таким образом, n = 0 или n = 3. Иными словами, либо все прямоугольники 1 × 3 пустые, и тогда на доске стоит 0 фигур, либо все прямоугольники 1 × 3 полностью заняты фигурами, и в этом случае на доске стоят 64 фигуры.

Критерии: Любое верное решение: 7 баллов.

Пропущен случай нуля фигур, в остальном решение верное: 6 баллов.

Доказано, что все прямоугольники 1 × 3 (или все квадраты 2 × 2) пустые или заполненные, но решение не завершено: 5 баллов.

Приведён только верный ответ: 1 балл.

Задание 5. (7 баллов)

Три школьницы зашли в магазин. Аня купила 2 ручки, 7 карандашей и 1 блокнот, Варя — 5 ручек, 6 карандашей и 5 блокнотов, Саша — 8 ручек, 4 карандаша и 9 блокнота. Все заплатили поровну, но одна при оплате воспользовалась скидкой. Кто? (Объясните свой ответ).

Решение. Обозначим символами Р, К, Б стоимости ручки, карандаша и блокнота соответственно. Обозначим также суммарную стоимость поку пок (без учёта скидки) Ани, Вари и Саши символами A, B, C. По условию,

A = 2Р + 7К + 1Б; B = 5Р + 6К + 5Б; C = 8Р + 4К + 9Б.

Сложим выражения для A и C и сравним результат с 2B:

Получили, что A + C < 2B, откуда следует, что стоимость покупок Вари больше, чем стоимость покупок хотя бы одной из остальных девочек, а значит скидкой могла воспользоваться только Варя.

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Приведён только верный ответ: 1 балл.

Рассмотрен только случай конкретных цен на ручки, карандаши и блокноты: 0 баллов.

Задание 6. (7 баллов)

В треугольнике ABC провели медиану AM. Найдите угол AMC, если углы BAC и BCA равны 45° и 30° соответственно.

Решение. Пусть BH — высота треугольника ABC. По условию угол BAC равен 45°, поэтому BH = AH. В треугольнике CBH катет BH лежит против угла 30°, поэтому BC = 2BH. Медиана HM прямоугольного треугольника BHC равна половине гипотенузы BC.

Собирая все равенства отрезков воедино, получаем

Значит, треугольник MBH равносторонний, и угол CMH равен 120°. Кроме того, треугольник AHM равнобедренный, его угол AHM равен 90° + 60° = 150°, поэтому угол AMH равен 15°. Таким образом,

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Доказано, что треугольник AHM равнобедренный, но правильный ответ не получен: 5 баллов.