Возведение в куб суммы и разности двух выражений - КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ - ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Цель: вывести формулы для возведения в куб суммы или разности чисел (выражений).

Планируемые результаты: научиться пользоваться формулами куба суммы и куба разности.

Тип уроков: уроки общеметодологической направленности.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

1. Сформулируйте словами, как найти квадрат суммы, и запишите соответствующую формулу.

2. Представьте в виде многочлена:

3. Упростите выражение и найдите его значение при b = 1/2.

4. Найдите значение выражения

1. Сформулируйте словами, как найти квадрат суммы, и запишите соответствующую формулу.

2. Представьте в виде многочлена:

3. Упростите выражение и найдите его значение при а = -1/2.

4. Найдите значение выражения

III. Работа по теме уроков

Приведем еще две формулы сокращенного умножения, позволяющие возводить в куб сумму или разность двух чисел (выражений).

Тождество (1) называют формулой куба суммы. В соответствии с ней куб суммы двух чисел (выражений) равен кубу первого числа (выражения) плюс утроенное произведение квадрата первого числа (выражения) и второго плюс утроенное произведение первого числа (выражения) и квадрата второго плюс куб второго числа (выражения).

Получим формулу (1) алгебраическим способом.

Используя свойства степеней и формулу квадрата суммы, получаем

Заметим, что формула (1) может быть получена и геометрическим способом. Для этого необходимо рассмотреть объемы параллелепипедов.

Формула куба разности имеет аналогичный вид:

В соответствии с формулой (2) куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго минус куб второго выражения.

Формулу (2) можно вывести аналогично формуле (1):

Заметим, что формула (2) может быть непосредственно получена из формулы (1):

Возведем в куб число 101.

Используя формулу (1), получаем

Возведем в куб число 99.

Используя формулу (2), получаем

Возведем в куб двучлен 2а + 3b.

Используя формулу (1), получаем

Возведем в куб двучлен а 3 – 2b 2 .

Используя формулу (2), получаем

Используя формулу (2) и раскрыв скобки, получаем

Заметим, что формулы (а + b) 2 и (а + b) 3 , (а - b) 2 и (а - b) 3 являются частными случаями формул (а + b) n и (а - b) n для n = 2 и n = 3 (бином Ньютона). Поэтому существуют определенные закономерности в этих формулах. Приведем еще раз формулы (а + b) n и (а - b) n для n = 1, 2, 3.

а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 + b 3

а 3 - 3а 2 b + 3аb 2 - b 3

Отметим закономерности этих формул:

1. При возведении суммы или разности двух чисел в n-ю степень получается однородный многочлен n-й степени, т. е. многочлен, состоящий из одночленов только n-й степени. Количество членов в многочлене равно n + 1. Например, при возведении а + b в квадрат получается однородный многочлен второй степени, состоящий из трех членов.

2. Получающийся однородный многочлен начинается с а n . В следующем члене степень а уменьшается на единицу, но появляется множитель b. В следующем члене опять степень а уменьшается на единицу, степень b увеличивается на единицу и так до тех пор, пока степень b не будет равна n.

3. При такой записи получающегося многочлена крайние члены имеют коэффициенты 1, остальные члены — коэффициенты n (только при n = 2, 3). Например, при возведении в куб суммы а + b коэффициенты последовательно равны 1, 3, 3, 1.

4. При возведении в п-ю степень суммы а + b все коэффициенты имеют знак “плюс”. При возведении разности а - b знаки коэффициентов чередуются, начиная со знака “плюс”.

Например, при возведении разности а - b в куб коэффициенты последовательно равны 1, -3, 3, -1.

5. Все сказанное справедливо только при n = 1, 2, 3. Начиная с n = 4 закономерности становятся сложнее.

IV. Задания на уроках и на дом

1. Используя соответствующие формулы, найдите:

Ответы: а) 29 791; б) 21 952; в) 140 608; г) 117 649.)

3. Решите уравнение:

V. Контрольные вопросы

— Сформулируйте словами, как найти куб суммы, и запишите соответствующую формулу.

— Выведите формулу куба суммы алгебраическим способом.

— Сформулируйте словами, как найти куб разности, и запишите соответствующую формулу.

— Выведите формулу куба разности алгебраическим способом.

VI. Подведение итогов уроков

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.