Задача 212, читаем внимательно вопрос.
900/6 в неделю первый, 900/5 в неделю второй, разница 30.
Ответ на 30 страниц больше. ФОрмулировка вопроса корявая, но означает, что работали операторы равномерно.
Черт, кажется, я решала эту задачу своей младшей сестре, если мне память не изменяет о_о
Автор, а видел учебники информатики за 3 класс? :D Там вообще такая жесть, всей семьей некоторые пытались понять.
Простой способ умножать числа
Подумал, что кому-нибудь может быть интересен способ относительно быстрого умножения чисел в уме. Уверен, что многие с ним знакомы, но. пусть будет.
Основная мысль во всех подобных упражнениях - разбивать сложную задачу на несколько простых. Согласитесь, зачастую такой способ действительно помогает.
Давайте начнем с очень простой штуки - умножим однозначное число на двухзначное. Этим заниматься приходится постоянно. Например, умножим 6 на 47. Самый простой и интуитивно понятный способ это сделать - разбить число 47 на 40 и 7.
Вроде, было несложно, правда? Давайте еще примерчик. Чуть посложнее. Умножим 9 на 73.
Если кто хочет попробовать - прошу! Постарайтесь перемножить эти числа вышеуказанным способом в уме. Ответы мелко справа в перевернутом виде.
Итак, теперь давайте представим, что нам нужно перемножить два двухзначных числа. Для простоты возьмем числа 21 и 34. В данном случае, сделаем так: разобьем 21 на 20 и 1. Картинка для наглядности.
Поняли, да? Из задачи по перемножению двухзначных чисел мы получили задачу по умножению двухзначного на однозначное (не забывайте добавлять нолик). А дальше как в том анекдоте - такие числа мы умножать уже умеем! Но точно нужОн еще пример.
Примеры для самостоятельного решения с ответами в перевернутом виде.
Но и тут есть кое-что, что можно улучшить. Давайте перемножим этим методом следующие числа.
Что-то как-то туго пошло, да? Кокос не ловится, крокодил не растет. Но давайте не будем переть на таран и сделаем немножечко умнее.
То есть, помните, что мы можем "докручивать" наши числа до десяток как в большую сторону, так и в меньшую. Да, вычитать обычно сложнее, но это уже вопрос вкуса.Попробуйте сами.
И в конце покажу два маленьких способа быстро проверить правильность умножения.
Суть первого способа очень простая - смотрите на последнюю цифру в получившемся числе. Например, давайте проверим правильность этого умножения. Для этого нам не потребуется перемножать эти числа. Мы просто вспомним, что если последние цифры перемножаемых чисел 6 и 4, то поскольку 6∙4 = 24, то и на конце должна стоять четверка!
И второй способ - прикидывайте порядок получившегося числа. Для этого округлите перемножаемые числа так, чтобы вы могли их молниеносно перемножить.Например, в этом примере представленный вариант перемножения очевидно неверный, ибо немножко увеличенные числа дают сильно больший результат.
Причем с последней цифрой в данном примере все сходится: 9∙8 = 72, собственно, двойку мы на конце и видим.
Давайте еще один пример проверки.
Значит, это правильно? Не совсем. Эти два метода позволяют нам избежать наиболее вероятных ошибок и не дают ошибиться совсем уж жестко. Однако ошибочка здесь в наличии. Вместо пятерки должна была стоять шестерка. Серьезная это ошибка или нет - зависит от ситуации.
Вот и все! Буду рад услышать мнение в комментариях.
Приключения секретной формулы
Многие считают, что математика – скучная вещь. Но иногда вокруг математической формулы могут развернуться события, достойные многосерийного приключенческого фильма!
Лука Пачоли
Вот задача из средневековой книги о торговле: «Некая шкатулка имеет высоту 1 ладонь, ширину 1 ладонь и глубину 1 ладонь, и входит в неё драгоценных пряностей на 20 золотых флоринов. На сколько нужно одинаково увеличить высоту, ширину и глубину, чтобы в ту же шкатулку вместилось товара на 40 флоринов?».
Точного решения такой задачи древние математики отыскать не могли. Им приходилось использовать специальные таблицы. В 1494 году знаменитый итальянский учёный Лука Пачоли писал в своей книге «Сумма арифметики», что «для кубических уравнений, к сожалению, общее решение пока не найдено».
Италия в огне
Хотя. На самом деле называть Пачоли итальянским учёным – это не очень правильно. В те времена Италии как государства не существовало вообще! Часть её принадлежала Испании, часть – Неаполитанскому королевству, а север страны и вовсе был разделён на крошечные герцогства, графства и республики – Венецию, Флоренцию, Геную.
Уживаться друг с другом у этих государств не получалось, между ними шла непрекращающаяся война. Поэтому многие учёные, художники и архитекторы попросту бежали из Италии, спасая свою жизнь, – некоторые из них в результате оказались в далёкой России, где помогали возводить Кремль и Кремлёвскую стену. Да-да-да, знаменитые зубцы в форме буквы «М» поверх Кремлёвской стены (они, кстати, называются «мерлоны») были построены по новейшей итальянской моде того времени!
Слева - Московский кремль, справа - крепость в Вероне (Италия)
Однако мы отвлеклись. Итак, Италия страдала от непрекращающихся войн. В 1512 году войска французского короля Людовика 12-го взяли штурмом город Брешию и устроили там страшную резню – погибло около 45 000 (!) человек. Женщины и дети пытались спастись в местном соборе, но французы ворвались и туда. Двенадцатилетний мальчик по имени Никколо Фонтана попытался защитить от разъярённых солдат мать и младших братьев – и получил страшный удар мечом в голову.
Мальчик выжил и сыграл выдающуюся роль и в нашей истории, и вообще в истории математики. Однако всё-таки попытайтесь представить себе то неспокойное время, когда ни один человек, даже ребёнок, не смел выйти на улицу без кинжала и меча.
Но поединки в те времена происходили не только на мечах и кинжалах. В Италии были широко распространены «математические поединки». Бросивший вызов предлагал своему оппоненту решить математическую задачу, а иногда и не одну. Соперник же должен был предложить встречную задачу (или несколько). Побеждал тот, кто решит больше задач – и, надо сказать, такие математические «турниры» имели просто бешеную популярность!
Люди делали крупные денежные ставки на победу «своего» математика, и призы на таких состязаниях были более чем существенные. Неудивительно, что многие математики принимали участие в таких поединках просто для того, чтобы подзаработать, как современные профессиональные боксёры.
Приблизительно в том же 1512 году, когда французы разорили Брешию, в другом итальянском городе, Болонье, преподаватель математики по имени Сципион дель Ферро сделал удивительное открытие. Он сумел найти общую формулу для решения одного из видов кубических уравнений. Современный учёный тут же оповестил бы всех коллег и корреспондентов о выдающемся научном успехе – однако тогда времена были другие. Обладая этой, одному ему известной формулой, дель Ферро мог не бояться, что кто-то осмелится вызвать его на математический поединок и отобрать у него весьма престижное и денежное место профессора в Болонском университете. Поэтому публиковать формулу учёный не стал – да что там публиковать, само существование этой формулы он держал в строжайшей тайне!
В 1526 году Сципион дель Ферро умирает. Должность преподавателя и все свои записи он передаёт мужу своей дочери, единственному законному наследнику Аннибале делла Наве. Он был ничуть не менее скрытным, чем Сципион дель Ферро, и о существовании формулы для решения кубических уравнений не сообщил никому.
Бой за тридцать обедов
Проходит восемь лет – и вдруг происходит событие, которое по-настоящему всколыхнуло всю тогдашнюю образованную Италию. Совершенно неожиданно в Венеции объявляется некий математик, по имени Антонио Мария дель Фиоре, который утверждает, что никто в стране не может сравниться с ним в искусстве решения кубических уравнений. Откуда взялся этот Фиоре – мы не знаем; некоторые утверждают, что он был учеником Сципиона дель Ферро, другие – что он, выполняя обязанности секретаря в доме делла Наве, попросту украл заветную формулу.
Математиком он был, мягко говоря, посредственным, однако сразу же сообразил, какое сокровище попало к нему в руки. «Никто не сможет победить меня на математическом поединке!» – заявил он и бросил вызов всем математикам Италии. Ставка была по тем временам крупной – побеждённый должен был оплатить 30 роскошных обедов.
Вы ещё не забыли про мальчика Никколо, которого французский солдат чуть не убил в Брешии? Мальчик этот чудом выжил, хотя на лице у него остался страшный шрам, и всю оставшуюся жизнь он носил скрывающую этот шрам густую бороду и плохо говорил, за что получил прозвище «Тарталья», то есть «заика».
Никколо Тарталья
Тарталья был человек невероятного таланта и ума. Совершенно не имея денег, он сам научился читать и писать, освоил математику и в итоге стал чрезвычайно искусным поединщиком. К 1534 году он успешно выиграл себе не только неплохое состояние, но и должность преподавателя математики в Венеции. По поводу умственных способностей Фиоре он никаких иллюзий не испытывал – и немедленно принял вызов на поединок. «Я проучу эту бездарность, этого выскочку Фиоре!» – говорил он. Будучи уверенным в своих математических талантах, Тарталья даже не стал готовиться к турниру. Однако, когда в означенное время гонец привёз от Фиоре 30 задач, Тарталья понял, что простым поединок не будет.
Все задачи Фиоре были на решение кубических уравнений, которые решать в общем виде никто в Италии не умел! (По крайней мере, все так думали – про метод, открытый Сципионом дель Ферро, никто даже не подозревал, он хранился в глубочайшей тайне.) Только тут Тарталья понял, в какую хитроумную ловушку его заманил Фиоре – посредственный математик, но прирождённый интриган.
Однако сдаваться без боя Тарталья тоже не захотел – два дня и две ночи он практически не ел и не спал, пытаясь справиться с присланными ему задачами. и произошло чудо. Хотя почему «чудо»? Просто Тарталья, в отличие от Фиоре, был действительно гениальным математиком. За две ночи он сумел заново открыть метод Сципиона дель Ферро, да не просто открыть, а ещё и улучшить! Новый способ позволял решать кубические уравнения разных видов, а не только одного.
Поединок между Тартальей и Фиоре
Тарталья торжествовал! Он решил все присланные Фиоре 30 задач, а потом составил 30 своих – причём такого вида, который Фиоре решать не умел, несмотря на секретную формулу!
22 февраля 1535 года состоялся поединок. Тарталья, как мы уже говорили, решил все предложенные ему задачи. Фиоре же не смог решить ни одной задачи, предложенной соперником! Жители Венеции неистово аплодировали своему гениальному соотечественнику, а опозоренному Фиоре ничего не оставалось, как признать поражение. Тарталья поступил с соперником более чем великодушно, отказавшись от выигранных 30 роскошных обедов. Однако Фиоре затаил обиду и поклялся отомстить.
Охота пуще неволи
Молва о выигранном Тартальей турнире прокатилась по всей Италии, в частности, об удивительном методе решения кубических уравнений услышал Джероламо Кардано, профессор математики из Милана. Тоже личность очень примечательная!
Интересы Кардано были невероятно широки – он был и врачом, и инженером, и математиком, и физиком, и химиком, и астрологом, и философом. Он, в частности, изобрёл карданов подвес, карданов вал и кодовый замок. Однако глубиной его познания не отличались; плюс ко всему, Кардано был невероятно тщеславен. В те годы он занимался составлением большой подробной книги по математике – назвал её он «скромно» «Ars Magna», то есть «Великое искусство», и собирался включить в эту книгу все новейшие (для того времени) математические достижения.
Джероламо Кардано
Надо ли говорить, как Кардано заинтересовался формулой Тартальи! Метод решения кубических уравнений! Формула, которую не смогли найти ни древние математики, ни индийцы, ни арабы! Она непременно должна была стать украшением его книги, это будет настоящий бриллиант! И Кардано начинает переписываться с Тартальей. Он восхищается талантом Тартальи, откровенно ему льстит, называет «величайшим математиком всех времён» – в общем, готов на всё, лишь бы тот раскрыл заветную формулу.
Но Тарталья был крайне невысокого мнения об умственных способностях Кардано. Он всячески издевается над Кардано, бахвалится тем, что открыл всего за два дня формулу, которую Кардано никогда не сможет найти самостоятельно, что за два года, что за двадцать. Но Кардано все эти насмешки переносит терпеливо и с улыбкой – для него главное узнать формулу, остальное неважно!
Загадочное стихотворение
Наконец, 25 марта 1539 года Кардано улыбается удача. Тарталья соглашается раскрыть тайну. Однако формулу он прячет в форме зашифрованного стихотворения из 25 строк – и это стихотворение передаёт Кардано. Вот оно:
Стихотворение Тартальи
Кардано, как мы уже упоминали, был человеком неглупым и с широким кругозором, но расшифровать стихотворение Тартальи не сумел. Попробуйте поставить себя на его место, когда вместо вожделенной математической формулы вы получаете листок с вот таким вот текстом:
Когда куб и вещь совместно
Равняются числу некоему целому,
Найди два других, с разностью в первое.
Затем возьми себе в привычку,
Что произведение их равняется
Чистой трети куба от вещи.
То, что осталось, как правило,
Из кубических корней их вычтенных,
Будет равняться твоей главной вещи.
Во втором же из этих действий,
Когда куб остаётся один,
Увидишь ты другие соглашения.
Сразу раздели число на две части,
Так, чтоб одна, на другую помноженная,
Ясно давала треть куба от вещи.
Тогда из двух этих вещей, как привычное правило,
Возьми кубические корни, сложенные вместе,
Сумма эта и будет твоей мыслью.
Третье же из наших вычислений
Решается, если постараться, как и второе,
Поскольку природа их почти одна и та же.
Узнал я эти вещи не запоздалыми шагами
В году одна тысяча пятьсот тридцать и четыре,
На основаниях прочных и крепких,
В городе, опоясанном морем.
Кардано в ярости. Единственное, что ему понятно из текста – это 1534 год и «город, опоясанный морем», то есть Венеция. Но всё остальное? Что означают все эти загадки? Для того чтобы решить их, был нужен математик не менее талантливый, чем сам Тарталья. И, по странному совпадению, такой математик у Кардано был!
Клятва на Библии
Вернёмся на три года назад. В доме у Кардано служил слуга по имени Люка Феррари, парень ленивый и нерадивый. Однажды он взял и сбежал домой. Кардано, оставшись без слуги, написал отцу Феррари – чтобы тот вернул парня на службу. Однако тот вместо сына прислал к Кардано тринадцатилетнего племянника Лодовико. Сперва Кардано очень рассердился – как же, вместо здорового молодого парня ему присылают сущего мальчишку! – но потом обратил внимание на то, что мальчишка не по годам сообразителен.
Вместо того чтобы заставлять Лодовико чистить лошадей и выносить помои, Кардано учит паренька математике – и тот делает поразительные успехи! В итоге Лодовико Феррари становится личным секретарём и помощником Кардано.
Ему-то хозяин и поручает разобраться с загадочным стихотворением Тартальи. Всего лишь за два дня Феррари разгадывает головоломку и с гордостью демонстрирует Кардано готовую формулу.
Наконец-то Кардано может торжествовать! Он приходит к Тарталье и в едких выражениях сообщает, что разгадал формулу. Сказать, что Тарталья взбешён – это ничего не сказать. Он выхватывает кинжал (не забываем, в те времена математики ходили с мечами и кинжалами) и под страхом смерти заставляет Кардано принести клятву на Библии – что тот никогда не опубликует формулу в своей книге. Кардано вынужден согласиться.
В 1540 году выходит книга Кардано «Великое искусство». Однако формулы для решения кубических уравнений там нет. Кардано вынужден скрепя сердце держать слово. Ему известна формула, но он не может её опубликовать! Все его помыслы только об одном – чтобы обойти клятву и отомстить Тарталье. И вот однажды в дверь дома Кардано стучит некий человек, который тоже затаил на Тарталью злую обиду. Это… тот самый Антонио Мария дель Фиоре, опозоренный на математическом турнире в 1535 году!
Фиоре клянётся, что формулу знал ещё покойный профессор Болонского университета Сципион дель Ферро. И если эта формула есть в записях профессора, то Кардано может опубликовать формулу по этим записям! Теперь клятва, данная Тарталье, не имеет значения!
В 1545 году выходит второе издание книги «Великое искусство», в котором решению кубических уравнений посвящена целая глава! В предисловии к главе Кардано упомянул и Тарталью, и Фиоре – однако написал, что метод был изначально придуман «почтенным Сципионом дель Ферро». Не подкопаешься!
Титульный лист книги Кардано «Великое искусство»
Последняя битва
Само собой, теперь была очередь Тартальи прийти в бешенство. Как?! Этот напыщенный болтун Кардано публикует формулу в своей книге в нарушение клятвы?! Он утверждает, что честь открытия формулы принадлежит не ему, Тарталье, а дель Ферро?!
Тарталья публикует гневные письма, в которых называет Кардано вруном, бездарем и клятвопреступником. Наконец, он отправляет Кардано вызов на математический поединок – Тарталья уверен, что победит и посрамит своего соперника. Но. Не таков был Кардано! Вместо себя он отправил на поединок того самого Лодовико Феррари, «своего юного ученика».
Лодовико Феррари к тому времени не только сумел усовершенствовать формулу Тартальи и дель Ферро, он самостоятельно открыл способ решения уравнений четвёртой степени, ещё более сложных! Тарталья был, безусловно, талантлив – однако Феррари был одарён ничуть не меньше.
И вот 10 августа 1548 года в Милане состоялся долгожданный турнир. Главным судьёй был лично дон Ферранте ди Гонзага, губернатор города. Весь город болел за Феррари – а поддержать одинокого Тарталью приехал только его младший брат. В первый же день стало ясно, что Феррари решает задачи намного лучше – и ночью опозоренный Тарталья бежал из Милана.
На юного Феррари посыпались предложения службы, одно привлекательнее другого – его приглашал в учителя математики для своего сына сам император! До самой своей смерти в 1557 году Тарталья пытался «восстановить справедливость» – но это ему так и не удалось.
В современных учебниках математики формула, ставшая причиной стольких драматических событий, называется «формула Кардано».
Разумность
Марти съел 4/6 своей пиццы, а Льюис съел 5/6 своей пиццы.
Марти съел больше пиццы, чем Льюис.
Как такое возможно?
Пицца Марти была больше, чем пицца Льюиса.
Неверно. Это невозможно, так как 5/6 больше, чем 4/6, поэтому Льюис съел больше.
Ответ на пост «Как не облажаться с репетитором»
Плюсую: перечисленные фразы действительно отталкивают репетиторов. Но часто за ними не все так страшно, если перед началом занятий подробнее пообщаться с родителем.
"Нужен максимальный балл" - не всегда значит "подготовьте моего двоечника хотя бы на 100". Родители (в большинстве своем) неглупые люди, и при общении оказывается, что за этой фразой скрывалось "максимальный балл, на сколько сможет сдать мой ребенок". Иногда - это 60. Иногда и 90+. А часто они просто не знают, что, например, 85 баллов на профиле - это не что-то вроде школьной четверки, а серьёзный углублённый уровень.
"Ребенок умный, но оценки слабые" - иногда так и есть. Но, подчеркиваю: иногда. Был один случай, когда мой ученик имел слабую тройку в школе к концу нашего обучения, но сдал ОГЭ на максимум. По каким критериям оценивал его учитель? Я не знаю, меня не просили вникать. Я протестировала его и сложила собственное впечатление, которое, отличалось от оценки учителя. Мама была суперадекватная. Она так и сказала: "подтяните, в чем он слаб. И дайте фундаментальные знания. А на школьные оценки я не обращаю внимание". Парень все на лету схватывал, постоянно придумывал нестандартные, но логически верные способы решения. Только почерк был ужасен. Может, за нестандартность и почерк ставили ему двойки. Могу только предлагать.
На фразу: "Нам нужно два занятия в неделю по полтора часа " я готова отвечать: "иди сюда, я тебя расцелую"))) шутка. Да нет, просто это значит, что человек представляет, что объем работы для подготовки к профильному ЕГЭ по математике большой и готов к нему. Такой формат и есть наилучший. Но бывает, что после месяца занятий сокращаем частоту до 1 раза по 2 часа, если вижу, что ученик способен делать большой объём дз, распределять его на неделю. Или сокращаем длительность, если мозги работают быстро и двух раз по часу вполне хватает.
Хуже фраза "натаскать на ЕГЭ. Заниматься готовы раз в неделю по часу. Один час на два предмета - математика и физика". Слышала такое лично. Переубедить в бесполезности не смогла. Про натаскивание вообще молчу - не мой метод. Соответственно, что было дальше - не знаю, я не взялась)
"Нужен эксперт ЕГЭ" - бывает, пишут в заказах на обучение 5-классников. Я как эксперт ЕГЭ не представляю, чем именно эта экспертность может быть полезна 5-класснику:) До разбирательств с критериями проверки и апелляции ЕГЭ ему ещё жить и жить.
В общем, да. В заказах на сайтах эти фразы настораживают. Но, если родитель звонит и мы имеем возможность обсудить его ожидания, то оказывается, что не всё так страшно в большинстве случаев.
А иногда бывает наоборот. И все на самом деле страшнее, чем ожидалось.
Впрочем.. это уже совсем другая история. :) (с) Каневский.
Неизвестная женщина-математик с фамилией, известной каждому жителю СССР, - Л.В. Келдыш
Речь пойдет о Людмиле Всеволодовне Келдыш - сестре знаменитого академика Мстислава Всеволодовича Келдыша - советского ученого в области прикладной математики и физики, доктора физико-математических наук и одного из идеологов советской космической программы.
В этой заметке хотелось бы восполнить пробел, вызванный нахождением сестры в "тени" своего несомненно великого брата. Итак, поехали!
Детство и юность
Родилась Людмила в Оренбурге 27 февраля 1904 года в семье военного инженера и будущего генерал-майора Всеволода Михайловича Келдыша.
Всеволод Михайлович Келдыш - отец русского железобетона, основоположник методологии расчёта строительных конструкций.
Девочка была первенцем в большой семье (у Всеволода и его жены Марии в 1919 году уже родился седьмой ребенок), что потом сослужит добрую службу её младшему брату - Мстиславу. Пользуясь авторитетом старшей сестры Людмила переубедит мальчика (на этот момент ему 16!) поступать на строительную специальность, как того хотел отец, а предложит обучаться на физико-математическом факультете МГУ.
Сама девушка в это время (1926 год) выпускается из матфака МГУ, где её научным руководителем был знаменитый математик Николай Николаевич Лузин, посещение лекции которого в Иваново-Вознесенском политехническом институте еще в 14-летнем возрасте предопределило её выбор в пользу математики.
Н.Н. Лузин. Интересно, что он скептически относился к брату Людмилы - Мстиславу и в начале считал, что тот идёт на дно как математик.
Людмила перенесла традиции родительского дома и в свою семью. Всю жизнь на, выражаясь образно, была "ангелом-хранителем" своего мужа-математика и всегда считала его интересы выше собственных, постоянно помогала в рецензировании его трудов, в т.ч. работы "Неразрешимость проблемы эквивалентности слов для конечно определенных групп", за которую Новиков получит Ленинскую премию в 1957 году.
В довоенное время Людмила Всеволодовна активно занимается дескриптивной теорией множеств, которая изучает множества которые можно конструктивно построить, в противоположность множествам, которые существуют лишь в силу абстрактных (умозрительных) принципов вроде аксиомы выбора.
Успехи Людмилы Келдыш на этом поприще можно описать всего одним фактом восхищения со стороны Эберхарда Хопфа - одного из пионеров эргодической теории (суждениям о свойствах случайных процессов) и теории бифуркаций (качественных изменениях поведения динамических систем при бесконечно малых изменениях её параметров).
Военное время
Военное время для семьи Келдыш, как и для всех советских граждан, - самое трудное. Только благодаря покровительству А.Н. Колмогорова у Людмилы с тремя сыновьями получилось сесть на поезд, проводивший эвакуацию в грозный октябрь 1941 года.
Оказавшись в Горьком в статусе "беженки", а не эвакуированной, Людмила с детьми была на грани бедствия, без каких-либо вещей, средств существования. К счастью им дали комнату в общежитии. Холодная и голодная зима 1941-1942 года усложнилась болезнью её мужа, который вскоре так же был доставлен в Горький для проведения операции.
"Голод" - это не просто яркий эпитет, ведь единственной едой, которую могла себе позволить Людмила, была мука грубого помола. сваренная на воде, - "затирка". Это нехитрое блюдо, а также ежедневные 300 грамм хлеба станут основой рациона семьи на два года до возвращения из эвакуации.
После войны
После возвращения в Москву жизнь стала налаживаться, в семье появилось пополнение из двух дочерей. Сама Людмила, хотя и была образцовой матерью, не могла себе позволить бросить математику.
В это время её увлекают непрерывные отображения пространств - преобразования, при которых близкие точки одного пространства (прообраза) переходят в близкие точки другого (образа).
Старший Леонид Келдыш (еще от первого брака) - физик, академик-секретарь Отделения обшей физики и астрономии РАН. Младший Сергей Новиков, взявший фамилию отца, - известнейший математик, крупный специалист по математической логике, алгебре и теории групп. Младший Андрей - был доцентом Физико-технического института, но трагически погиб в 1986 году.
Когда попытался исправить провалы в образовании.
Помимо того, что Алексей Савватеев делает для популяризации школьной математики, он развивает и более серьезную математику:
- является научным руководителем Кавказского Математического Центра
- разъезжает по всей стране с лекциями для школьников, студентов, взрослых, университетов, бизнесов
- делает переподготовку школьных учителей
- неоднократно входил в шорт-лист финалистов премии "Просветитель" в номинации «Естественные и точные науки» -- в этом же шорт-листе был, к примеру, Станислав Дробышевский
- преподает в Московском Физико-Техническом Институте (вуз стабильно входит в топ-3 сильнейших российских вузов)
- создал и ведет собственный Ютуб-канал про математику, где за год набрал более 100 тысяч подписчиков: https://www.youtube.com/channel/UCWk8OxsylgmZ_VgY7jC9pjQ
А также записал курсы лекций по следующим темам:
1. Математический анализ
2. Геометрия и группы
4. Научно-популярный курс Математика для всех
5. Целая куча онлайн-курсов для Курсеры и OpenEdu
Плюс ко всему, написал книгу "Математика для гуманитариев", которую можно как купить в читальном магазине, так и абсолютно бесплатно скачать с его сайта: https://savvateev.xyz/book/
МатОлимп #8
Сегодня у нас простенькая задача, балла на 4 из 10. Условия выглядят следующим образом
Делаем небольшую паузу, пьём кофе, смотрим мем и начинаем решать.
Теперь можно и приступить к разбору. Давайте разберёмся, какие остатки от деления на три может давать квадрат числа. Произвольное число даёт в остатке от деления на 3 либо 0, либо 1, либо 2. Такие числа соответственно можно записать в виде 3k, 3k+1 и 3k+2. Рассмотрим их квадраты.
Первый квадрат имеет остаток 0, а два оставшихся имеют остаток 1.Отсюда следует, что x и y не могут одновременно давать остаток и 1 и 2 от деления на 3 ( иначе z имело бы в остатке 2, а это запрещено для квадрата, как мы увидели выше ). Следовательно, одно из этих чисел делится на 3.
Теперь поглядим на остатки от деления на 8. Произвольное число при делении на 8 даёт в остатке либо 0, либо 1, либо 2, либо 3 и тд до 8. Эти числа записываются как 8k, 8k+1, 8k+2, 8k+3 и тд до 8k+7.Посмотрим на остатки их квадратов.
Так как z^2 не может давать в остатке что-то отличное от этих чисел, то приходим к выводу, что либо левая часть даёт в сумме остаток 1 ( а это значит, что одно из чисел делится на 8), либо оба числа дают в остатке по 4. В первом случае все очевидно, так как какое-то число делится на 3 да еще одно из них на 8. Значит произведение делится на 24 (а на 12 и подавно). Во втором случае, если глянем на табличку, заметим, что оба числа будут делится на 2. Значит их произведение делится на 3 и на 4 ( по 2 от каждого числа). Таким образом xy делится на 12. Задача решена!
Литература для изучения школьной математики
Вы все еще празднуете? А мы уже рубим учим.
Итак, обещанный пост про математические книги. В этом посте я собрал основные книги, которые будут полезны при изучении математики. Думаю, имеет смысл раскрыть каждое направление математики отдельно, но все в один пост однозначно не влезет.
Практически все указанные книги помещены в один архив, который можно скачать по ссылке. В архив я также добавил рабочие программы (то есть, список всех тем) по математике, чтобы было проще ориентироваться. Архив достаточно большой (
1. С первого по четвертый классы - математика.
Для маленьких не так уж и много хороших книг, и посоветовать можно только одно - сборник от тетеньки Петерсон. Задачи интересные и т.д., и т.п., но существует один существенный минус - странное расположение тем. Некоторые темы, которые должны идти подряд, зачем-то разнесены на большое расстояние. Но тут уж что уж.
Для каждого класса свой сборник, состоящий из трех частей. Ввиду огромного объема Петерсон в архив добавлять не буду. Если потребуется - добавлю отдельным архивом.
2. Пятый и шестой классы - математика.
Для этих классов можно порекомендовать две книги. Первая - все те же сборники от Петерсон с все тем же странным расположением тем. Вторая - великий и могучий Виленкин, у которого этой проблемы нет. В целом сборник Виленкина даже как-то поприятнее, но это все сильно субъективно.
Для каждого класса свой сборник.
3. Седьмой, восьмой и девятый классы - алгебра.
Собственно, 7-8 классы являются периодом, в который народ перестает понимать математику, поэтому тут очень важно не поплыть и четко изучить хотя бы базу. Тогда сразу же вырастут успехи в том числе по физике и по информатике. Просто день период такой.
Для седьмых классов есть два шикарных кустарных сборника - в архиве они обозначены как сборник 1 и сборник 2. В них собраны ровно те задачи, которые строго необходимы, без выпендры. Очень много однообразных задач как раз для тренировки. Короче, рекомендую. Один из сборников создан МИФИстами, другой учителями одной школы.
Примеры решения можно взять из книги для учителя опять же от МИФИстов. На мой взгляд, все написано очень неплохо. К сожалению, такое есть только для 7 класса.
Для восьмых и девятых классов можно обратиться к сборникам Миндюка и Макарычева. Ими я сам не пользуюсь, потому что эти сборники хорошие, но не идеальные; приходится выискивать примеры в разных источниках. Но как опорные книги для 8 и 9 классов - более чем достаточно. Книги для учителя с примерами также прилагаются.
Поверх этого о-о-очень рекомендую обратить внимание на мой любимый сборник для 8-9 класса от Звавича. В нем собраны действительно хорошие и интересные примеры. Одно "но" - сборник сложноват. Нулевому ученику за него браться не стоит.
4. Десятый и одиннадцатый классы - алгебра.
В этих классах мне очень сложно сориентироваться, потому что тут уже обычно все чихают на школьную программу и школьные учебники и начинают зубрить ЕГЭ, ибо школа, конечно, дело хорошее, но уже под попонькой медленно загорается огонек грядущего поступления. Собственно, поэтому программа чрезвычайно сильно зависит от школы и от учителя и может сильно отличаться.
В качестве опорных книг посоветую Шабунина 10-11 класс и дидактические материалы Зива-Гольдича для этих же классов. В них есть все необходимое + есть ГДЗ, что очень полезно.
5. Геометрия.
Значит, основная задача в данном предмете в 7-9 классах - выучить ряд определений, теорем и формул и научиться их применять. Здесь по большей части не требуется какого-то глубокого умения анализировать. Знаешь теорему - решаешь задачу; не знаешь - не решаешь.
Очень рекомендую три книги. Первая - Атанасян. Это широкоизвестный и очень хороший учебник, содержащий в себе превосходную базу. В общем, без лишних слов берем и используем.
Вторая - задачник Балаяна. В этом задачнике практически нет слов - все задачи представлены на уже готовых чертежах. Сборник идеально подходит для отработки теорем, потому что ускоряет процесс. Ученику не нужно тратить время на чертежи и прочее.
Но уметь правильно читать условия и делать чертежи очень важно, поэтому после Балаяна очень рекомендую обратить внимание на дидактические материалы Зива, существующие для каждого класса. У этих сборников сплошные преимущества - задачи разбиты тематически и на уровни сложности + есть сносное ГДЗ, что полезно. Рекомендую.
Собственно, для 10-11 классов рекомендации остаются все теми же - Атанасян, Балаян, Зив. Очень удобно.
6. Без привязки к классам.
Чаще всего я обращаюсь к сборникам, в которых задачи разбиты тематически, а не по классам.
а. Итак, есть три очень приличных сборника от все тех же МИФИстов, в которых собраны все "мясо", необходимое учащемуся 8 - 11 классов. Ориентированы они больше на сдачу ЕГЭ и поступление, но тем не менее более чем замечательно подойдут и обычному ученику для тренировки. Решаем, решаем и решаем.
б. Есть великолепный зубодробительный сборник Сканави, в котором большая часть задач дана с решениями. Но нужно помнить, что брать Сканави новичку - верный способ отбить все желание учиться. Этот сборник исключительно для хоть чуть-чуть понимающих в теме. От Сканави в архиве две книги.
в. Рекомендую данный сайт. В нем представлено очень много полезных материалов с удобным разбиением на темы (авторы называют их листочками). Обычно в этих листочках очень хорошо раскрыта теория (там, где она есть). Единственный минус - маловато простых задач для отработки. Сайт не для новичков.
в. И конечно же, конечно же очень рекомендую сервисы РешуОГЭ, РешуЕГЭ и РешуВПР. Все представленные там задачи актуальны и имеют решения + сам по себе очень удобный сервис для обучения. Максимально рекомендую.
В заключении скажу, что если будете искать какую-либо литературу по математике, то старайтесь искать старые книги, ибо новые - пятикратно переработанное нечто.
Интервью с Петром Александровичем Земсковым. Учителем математики из Челябинска
В рамках проекта #Экодети (для всех любителей гагов эко - сокращение от слова экология) мои ученики берут интервью у интересных личностей, которые рассказывают о природе России, своих интересах, местах, куда они любят ездить и многом другом. Мы пригласили на интервью Петра Александровича Земскова. Вы можете его знать как математика из тик-тока. И задали ему ряд вопросов, о его жизни, о его интересах, как он стал учителем математики и многом другом. Тем, кому интересно предлагаю посмотреть и открыть Петра Александровича с человеческой стороны!:)
Так же мы занимаемся популяризацией естественно-научного мышления.
Есть группа в ВК:
Там Вы можете (если интересно) ознакомиться с нашими трудами!:)
Затянувшаяся реформа образования
История проблемы равенства классов P и NP
В 2000 году Математический институт Клэя определил 7 математических задач, решение которых не могли найти в течение многих лет. За решение каждой из них была назначена награда в размере 1 миллиона долларов. Эти 7 задач известны как «задачи тысячелетия», и на сегодняшний день только одна из них была решена — гипотеза Пуанкаре. В этой статье пойдет речь о вопросе равенства классов P и NP, ответ на который может сильно повлиять на всю IT-сферу.
Вспомогательные детали
Равенство P и NP классов отсылает нас к теории алгоритмов, а именно к классам сложности. Первое, с чего стоит начать, это то, что классы P и NP классифицируют языки, а не задачи. Пока что это звучит довольно абсурдно, поэтому для понимания разберемся в некоторых деталях.
В теории алгоритмов алфавит — это непустое конечное множество символов. Набор символов ASCII - это алфавит. - тоже алфавит. - такое множество нельзя назвать алфавитом, поскольку оно пустое, а множество целых чисел Z нельзя назвать алфавитом, поскольку оно бесконечно.
Допустим, мы имеем алфавит. Назовем его A. Тогда словом над алфавитом А является упорядоченное соединение конечного числа символов. Например, 110110 — это слово над алфавитом , а «habr» - слово над алфавитом ASCII символов. Но число пи не будет словом над алфавитом < . , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9>, так как число пи из символов данного алфавита не будет конечным. Над любым алфавитом существует пустое слово, обозначать его будем символом e. Слова обладают такой характеристикой, как длина, т. е. количество символов в нем. Обозначать длину слова будем в виде модуля. Длина вышеупомянутого слова |110110| = 6.
Возьмем уже упомянутый алфавит А. Пусть множество А* содержит все слова над алфавитом А, а множество А+ также содержит все слова над А, за исключением e (значки + и * взяты из регулярных выражений). Множество Аn содержит все слова длины n. Для любого алфавита множества А* и А+ будут бесконечными (можно составить бесконечное количество слов разной длины для любого алфавита). Для алфавита А = множество А2 будет представлять набор из двузначных чисел.
Пусть А — алфавит и L ⊆ А*, тогда L называется языком над А. Для любого алфавита пустое множество и А* являются тривиальными языками. При этом пустое множество часто называют пустым языком. Однако не стоит путать пустой язык и язык, содержащий пустое слово e, — они различны. Языки могут быть как бесконечными, так и нет, но обязательно счетными. Т. е. множество всех действительных чисел языком нельзя назвать, т. к. такой набор является неисчисляемым.
Абстрактный исполнитель
Говоря про абстрактный исполнитель, чаще всего имеют в виду машину Тьюринга, поэтому в дальнейшем под АИ будем подразумевать именно её. Итак, машина Тьюринга имеет неограниченное линейное хранилище, сгруппированное в ячейки. Каждая ячейка может содержать ровно один символ алфавита в любой момент времени. Вдоль ячеек идет считывающая головка, имеющая конечное число состояний. За одну итерацию она может считать значение только одной ячейки, переписать её значение, изменить свое состояние и перейти на одну позицию вправо/влево.
Устройство машины Тьюринга
На основе машины Тьюринга определим так называемую разрешающую машину над языком. Для начала введем определение характеризующей функции X(w). Функция X определяет, принадлежит ли слово w языку L. Если да, то значение функции равно «1»; если нет, то «0». Формально это можно записать так:
Разрешающей машиной D для языка L называется такая машина, которая для каждого w∈A вычисляет характеризующую функцию X(w) за конечное время.
В дополнение к разрешающей машине идет верификатор. Машина V, которая принимает слова w и c и выводит 0 или 1 после конечного числа шагов, называется верификатором для L, если она обладает следующими свойствами:
- выводит 1, только если w входит в язык L;
- для любого w в языке L существует такое c, что V(w,c) = 1.
В данной машине буквой с называется свидетель или сертификат. Фактически, верификатор также проверяет, входит ли какое-либо слово в язык, однако делает это с учетом свидетеля, который ускоряет проверку. Например, возьмем число 182652. Входит ли оно в язык простых чисел, т.е. является ли оно простым. Без компьютера это будет довольно сложно проверить, однако имея сертификат — числа 186 и 982, произведение которых дает в результате число 182652, - задача проверки сильно упрощается. Фактически, свидетель - это любая информация, упрощающая проверку вхождения слова в язык.
Классы сложности и формулировка проблемы
Окей, мы рассмотрели несколько понятий. На первый взгляд, все это больше походит на лингвистику: алфавиты, слова, языки… Причем тут задачи? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к понятию задача разрешимости (англ. Decision problem). Это такой вопрос (сформулированный в формальной системе), требующий ответа «да» или «нет», зависящего, возможно, от значений некоторых входных параметров. Например, «является ли данное натуральное число x простым?» или «даны два числа: x и y; делится ли x на y?« Метод решения в виде алгоритма называется разрешающей процедурой. Теория вычислимости имеет дело в основном с задачами разрешимости и приведенные выше конструкции наглядно соотносятся с таким типом задач: так разрешающая машина над языком является формализацией разрешающей процедуры. Но как же быть с задачами, такими как задача коммивояжера? На них нельзя дать бинарный ответ. В таких случаях применяют приемы приведения к версии decision problem. В случае коммивояжера проблема по-новому формулируется так: «существует ли маршрут не длиннее, чем заданное значение k?»
В класс сложности NP входят все языки L, для которых существует такой верификатор, что для каждого (w,c) время его работы полиномиально. Иными словами, NP включает в себя задачи разрешимости, для которых при подходящем сертификате для данного w мы быстро сможем удостовериться в том, что w действительно принадлежит L (ответ на вопрос можно довольно быстро проверить). Отсюда и название «верификатор». В качестве примера задачи в NP можно привести определение наличия в графе гамильтонова цикла. Сертификат в данном случае — последовательность вершин, образующих гамильтонов цикл.
Помимо этих классов можно выделить ещё 2: NP-hard и NP-Complete. Они основываются на приводимости одного языка к другому за полиномиальное время: пусть языки A и B — языки над одним алфавитом. Язык А будет приводимым за полиномиальное время к языку B, если существует такая функция f(w), что
- функция f может быть вычислена машиной Тьюринга за полиномиальное время.
Тогда в класс NP-hard будут входить языки, к которым приводимы все языки в NP (причем NP-hard язык может входить в NP, а может и нет), а в NP-Complete те языки, которые являются одновременно NP-hard и NP. Примером NP-Complete является язык выполнимых булевых формул (SAT). Таким образом, NP-Complete задачи образуют в некотором смысле подмножество «типовых» задач в классе NP: если для какой-то из них найден «полиномиально быстрый» алгоритм решения, то и любая другая задача из класса NP может быть решена так же «быстро».
Отношение между классами при равенстве и неравенстве
Формулировка проблемы
Теперь, немного погрузившись в теорию алгоритмов, более конкретно обозначим проблему равенства данных классов. Итак, множество P входит в множество NP, но неизвестно, существуют ли языки, которые входят в NP и не входят в P. Что это означает на практике? Итак, простыми словами класс NP можно охарактеризовать как «трудно решить, легко проверить». Классическим примером задачи, входящей в NP, является задача коммивояжера, для решения которой на данный момент известен лишь один алгоритм — старый добрый перебор (мы не рассматриваем эвристические методы). Однако, получив ответ, его будет не так сложно проверить. Класс P же вобрал в себя те задачи, для которых существует эффективный алгоритм решения, позволяющий решать их за полиномиальное время. И равенство или, наоборот, неравенство этих классов пока не доказано. Если эти классы равны, то это будет значить, что для всех задач, которые сейчас решаются путем перебора или другим неэффективным методом, существует(-ют) полиномиальные алгоритмы. А если не равны, то придется смириться с неоптимальностью решения этих задач.
История проблемы равенства P и NP началась в 1928 году, когда Давид Гильберт сформулировал проблему, названную Entscheidungsproblem (нем. задача разрешения). Ее суть заключается в нахождении алгоритма, определяющего доказуемость данного утверждения из аксиом с использованием правил логики. По названию очевидно, что это задача является задачей разрешения (выводит «да» или «нет»).
В ходе решения этой проблемы потребовалось определить термины «алгоритм» и «вычислимая функция». В 1936 году Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг независимо показали, что общее решение Entscheidungsproblem невозможно, предположив, что интуитивное понятие «эффективная вычислимость» соответствует вычислимости функции на машине Тьюринга. Эта гипотеза сегодня известна как тезис Чёрча-Тьюринга.
Алонзо Чёрч
20 марта 1956 в письме к Джону фон Нейману Курт Гёдель впервые поставил вопрос о вычислительной сложности. Гёдель интересовался, можно ли получить доказательство теоремы (в математико-логическом смысле слова) за квадратичное или линейное время. К сожалению, письмо было обнаружено лишь в 1989 году и получило широкую огласку, когда Юрис Хартманис опубликовал перевод и комментарий.
Статья Алана Кобэма 1965 года под названием «The intrinsic computational difficulty of functions» является одним из первых упоминаний класса сложности P, состоящего из разрешимых за полиномиальное время задач. Тезис Кобэма-Эдмондса (известный также как расширенный тезис Чёрча-Тьюринга), названный в честь Алана Кобэма и Джека Эдмондса, утверждает, что любая разумная модель вычислений может быть выражена через другую модель с замедлением, не более чем полиномиальным по размеру входных данных. Кобэм предположил, что класс P может быть хорошим способом для описания множества реально вычислимых задач. Любая проблема, не содержащаяся в P, невозможна, но если задача реального мира может быть решена с помощью алгоритма, существующего в P, то такой алгоритм в конечном итоге будет открыт.
В 1965 году Юрис Хартманис и Ричард Стернс опубликовали статью «On the Computational Complexity of Algorithms», отмеченную премией Тьюринга. В ней даются более точные определения сложности алгоритма и класса сложности. Хартманис и Стернс определили класс сложности как совокупность всех задач, которые можно решить за установленные временные рамки. В их статье показано, что существует бесконечная иерархия классов сложности (например, задачи, для которых наиболее быстрый алгоритм имеет время, пропорциональное n, n log n, n^2, n^3, 2^n и т. д.), где небольшое увеличение временного интервала позволяет решать больше задач. Во второй статье Хартманис совместно с Филипом М. Льюисом показали, что подобная иерархия существует и для количества памяти (функция от размера входа) при решении задачи на машине Тьюринга.
В 1967 году Мануэль Блюм разработал аксиоматическую теорию сложности, которая основана на его собственных аксиомах (аксиомы Блюма), и получил важный результат — теорему об ускорении. До этого мы говорили по большей части о сложности алгоритма. Хотелось бы аналогичным образом определить и сложность задачи: например, какова сложность самого эффективного (по времени и емкости) алгоритма, решающего эту задачу. Теорема об ускорении гласит, что есть некоторые задачи, для которых не существует самого быстрого алгоритма, потому что любой алгоритм для такой задачи можно «ускорить», построив более быстрый алгоритм.
Мануэль Блюм
Точная формулировка проблемы равенства P и NP была представлена в 1971 году. Тогда американский ученый Стивен Кук и работавший независимо советский ученый Леонид Левин доказали, что существуют практически актуальные проблемы, которые являются NP-полными. В США Стивен Кук опубликовал статью «The complexity of theorem proving procedures», в которой формализовал понятия редукции за полиномиальное время и NP-полноты, а также доказал существование NP-полной задачи (задача выполнимости булевых формул, SAT). Теорема была независимо доказана Леонидом Левиным и, таким образом, получила название «теорема Кука-Левина».
В 1972 году Ричард Карп сделал рывок в знаменитой статье «Reducibility among Combinatorial Problems», в которой показал, что около 20 разнообразных задач из комбинаторики и теории графов, известных своей вычислительной трудностью, являются NP-полными.
В августе 2010 года Виней Деолаликар, работавший в исследовательском отделении Hewlett-Packard в Пало-Альто в Калифорнии, заявил, что разгадал загадку P vs NP. Он утверждал, что P не равняется NP, однако научное сообщество нашло в его доказательстве фатальную ошибку. В начале 2002 года SIGACT News провел опрос среди 100 ученых, задав им вопрос о равенстве классов NP и P. 61 человек ответили, что «неравны», 9 — «равны», 22 затруднились ответить и 8 сказали, что гипотеза не выводима из текущей системы аксиом и, таким образом, не может быть доказана или опровергнута.
К чему приведет решение проблемы
Окей, теория вычислимости, формализация алгоритмов и абстрактные математические теории — все это конечно интересно, но как решение проблемы равенства NP и P классов отразится на практике? На самом деле, алгоритмы для решения NP-задач используются каждый день во многих сферах. Например, в криптографии, криптовалютах, восстановлении поврежденных файлов, системах блокировки спама, оптимизации в логистике и т. д. Более эффективные решения могли бы значительно сэкономить время и деньги, так как мы пользуемся в основном эвристическими методами, дающими лишь приближенные решения.
Однако существует и обратная сторона монеты. Солидная часть криптографии (криптосистемы с открытым ключом, технологии доказательства выполнения работы в блокчейне, системы блокировки спама) основывается на предположении о неравенстве NP и P классов. Если окажется, что некоторые задачи, для которых, как считалось, не существует эффективных алгоритмов, можно решать быстро, то многие методы защиты устареют.
Может оказаться и так, что последствия решения окажутся не такими тривиальными, как это часто и бывает в математике. В качестве примера рассмотрим континуум-гипотезу о существовании мощности, меньшей континуума и большей мощности счетного множества. Оказывается, существование такого кардинала нельзя ни доказать, ни опровергнуть в аксиоматике ZFC. Так что мы вправе считать, что такие мощности бывают (впрочем, как и считать, что не бывают). Однако ясно, что мы не можем конструктивно построить соответствующее множество. Возможно, точно также окажется и с алгоритмами для NP-задач в случае равенства NP и P (к слову, некоторые математики в опросе SIGACT News так и ответили: гипотеза не выводима из существующей системы аксиом, то есть не может быть доказана или опровергнута).
Пока что существующих методов доказательств недостаточно для строго математического ответа, но не нужно терять надежду. В марте 2001 года Ричард Карп предсказал, что проблема будет решена молодым математиком (до 30 лет) с использованием подхода, о котором еще никто не думал. Стивен Кук заявил, что кто-нибудь предоставит убедительное доказательство в ближайшие 20 лет.