3.6. Обратные операции. Операция деления. Дроби
Давайте вспомним, что такое уравнения и как они решаются. Пусть требуется решить следующее уравнение относительно неизвестной переменной x:
Фактически, нам дано, что если подействовать оператором
на переменную x, то в результате получается 8. Чтобы найти значение x, мы берем еще один оператор, а именно
и действуем им на обе части данного нам уравнения:
После очевидных упрощений получаем:
Таким образом, два оператора, с которыми мы тут имеем дело,
устроены таким образом, что действие одного оператора полностью отменяет действие другого. Это можно записать в таком виде:
((. ) + 5) − 5 = ((. ) − 5) + 5 = (. ) + 0.
Про такую ситуацию говорят, что оператор (. ) − 5 является обратным к оператору (. ) + 5. С тем же успехом можно сказать, что оператор (. ) + 5 является обратным к оператору (. ) − 5, или же, что эти два оператора являются взаимнообратными.
Давайте теперь решим такое уравнение:
Для этого нам мог бы пригодиться оператор, обратный к
Таким обратным оператором, очевидно, является
Поскольку действия взаимнообратных операторов «гасят» друг друга, мы быстро приходим к ответу:
Любопытная ситуация возникает, если рассмотреть такое уравнение:
Нам надо подобрать оператор, обратный к 5 − (. ). Да ведь это же он сам и есть! Действительно,
5 − (5 − (. )) = 5 − 5 + (. ) = 0 + (. )
Подействовав этим оператором на обе части уравнения, получаем:
Рассмотрим теперь уравнения с участием умножения. Например, такое:
Тут бы очень кстати пришелся оператор, обратный к
Такой оператор действительно есть. Называется он «одна третья часть от» или, короче, «одна треть» и обозначается так:
Разумеется, обычно это записывается в упрощенном виде, без многоточия:
Давайте присмотримся к этому оператору повнимательнее. По определению обратного оператора, должно выполняться следующее «операторное» равенство:
Таким образом, «одна треть от» какой-либо вещи — эта такая штука, взяв которую три раза, мы снова получаем эту же самую вещь. Это особенно легко себе представить, если под «вещью» подразумевается, скажем, торт. Разрежем торт на три равные части, и тогда каждая такая часть будет представлять собой не что иное, как «одну треть от» торта. Впрочем, на занятиях математикой мы будем чаще делить на части не торты, а отрезки:
Здесь длина нижнего отрезка равна «одной трети от» длины верхнего отрезка.
А можно ли взять «одну треть от» коровы или автомобиля? Оказывается, можно. Допустим, нам дано, что с какого-то конвейера сходит один автомобиль за каждые три часа. Спрашивается: сколько автомобилей сходит с этого конвейера за один час? Ответ: «одна треть» автомобиля. Конечно, сама по себе «одна треть» автомобиля — это абсурд, бессмыслица. Но мы уже привыкли иметь дело с бессмыслицей, если она является временным, промежуточным результатом. Рано или поздно мы подействуем на «одну треть» автомобиля оператором 3(. ) — и смысл снова восстановится. Например, нас могут спросить: а сколько автомобилей сходит с этого конвейера за сутки (24 часа)? Тогда мы напишем так:
автомобиля = 8 автомобилей.
(На самом деле, после того как мы познакомимся с так называемыми «размерностями», мы будем записывать это несколько по-другому.)
Итак, мы определили «одну треть» следущим образом:
Теперь мы должны убедиться, что после перестановки результат не изменится:
Только в этом случае мы имеем право операторы «три раза по» и «одна треть от» называть взаимнообратными. Возьмем исходное «операторное» равенство
и вместо многоточия напишем в обеих его частях число 3:
Для наглядности поставим тут скобки:
Как видно, выражение в скобках может быть равно только единице, в чем, собственно, мы и хотели убедиться.
Возвращаемся к уравнению, с которого мы начали этот разговор:
Представим правую его часть в виде 3∙5 и подействуем на обе части оператором «одна треть от»:
Отсюда немедленно получаем:
Оператор «одна треть от» обладает очень важным свойством: его можно менять местами не только с числом 3, но и вообще с любым целым числом. Возьмем, для определенности, двойку и сравним выражения:
Подействуем на каждое из этих выражений оператором 3(. ). Вначале на первое выражение:
Затем на второе:
Как видим, в обоих случаях получается одно и то же число. Значит и исходные выражения равны между собой:
Это равенство можно представить себе наглядно так. Возьмем какой-нибудь отрезок и условимся считать, что длина его равна единице:
Подействуем на длину этого отрезка оператором 2(. ), иначе говоря, сделаем его в два раза длиннее:
Полученный отрезок поделим на три равные части:
И возьмем одну такую часть:
Точно такой же отрезок можно получить другим способом. Снова берем отрезок, длина которого условно равна единице:
Делим его на три равные части:
И берем две из таких частей:
Как нетрудно убедиться, результат в обоих случаях оказывается одинаковым.
На практике, вместо того чтобы писать
обычно пишут несколько короче:
Это читается: «две третих». Такая «двухэтажная» запись называется дробью. Горизонтальная линия называется дробной чертой. Число, которое стоит над дробной чертой, называется числителем. Число, которое стоит под дробной чертой, называется знаменателем. Такая запись очень удобна, когда мы пишем математические формулы на бумаге или на школьной доске, но она плохо вписывается в строки сплошного текста. Поэтому «двухэтажную» дробь часто переписывают в «одноэтажном» виде:
или применяют, так сказать, промежуточный вариант:
«Одноэтажная» запись, 2/3, хороша еще и тем, что мы можем объявить косую черту «/» бинарным оператором:
Операция, которая задается этим оператором, называется делением. В качестве знака деления может также использоваться двоеточие (главным образом, в школьных учебниках):
В нашем курсе математики мы используем двоеточие только для обозначения деления с остатком. Кроме того, на клавишах калькуляторов для обозначения деления может применяться так называемый «обелюс»:
Следует отметить, что в некоторых случаях результат операции деления оказывается равным целому числу, например: