Теоретическое и методологическое обеспечение преподавания геометрии в 8-м классе по теме "Вписанный угол"
Описанная технология не может применяться при изучении каждого определения – все зависит от уровня развития мышления школьников, их обученности. Подготовка к уроку начинается с логического и дидактического анализа формулировки определения, теоремы и способа доказательства (случай изучения теоремы).
Технология изучения определения понятия “Вписанный угол”
Определение: //Угол//, //вершина которого лежит на окружности//, а //стороны пересекают окружность//, //называется вписанным углом//.
1. Анализ формулировки
а) Определение дано через род и видовые отличия
б) Родовое понятие: угол
1) Вершина лежит на окружности
2) Каждая сторона пересекает окружность
в) Содержание: конъюнктивная структура
- вершина которого лежит на окружности, стороны пересекают окружность;
- вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается;
- вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;
- вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
Объем понятия: множество всех углов вписанных во все (в каждую) окружности.
2. Существование можно доказать построением.
3. Переформулирование: не возможно.
4. Частные эвристики.
1.1 Чтобы доказать, что угол является вписанным в окружность, необходимо доказать, что вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
1.2 Чтобы доказать, что вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, необходимо доказать, что угол является вписанным в окружность.
2.1 Если угол является вписанным в окружность, то вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
2.2 Если вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, то угол является вписанным в окружность.
5. Составление отрицания определения.
Угол не является вписанным в окружность, если вершина угла не лежит на окружности или стороны угла не пересекают окружность.
6. Установление связи между новым понятием и изученным ранее
- угол
- окружность
- вершина угла
- луч пересекает окружность
- Острый вписанный угол
- Тупой вписанный угол
- Прямой вписанный угол
Фрагмент урока по изучению определения вписанного угла
II. Операционно-познавательная (содержательная) часть. Учитель: Давайте построим еще три окружности с произвольными радиусами. Теперь поставим произвольные точки, так чтобы они были расположены в различных местах на окружности – они будут являться вершинами углов, из этих точек выпустим по два луча, пересекающие окружность в двух точках.
Давайте проанализируем эти окружности и запишем результаты по рисункам. Что можно сказать по рис.№1? Ученики: Дана окружность и угол ABC: а) вершина угла ABC точка B лежит на окружности; б) стороны угла ABC пересекают окружность в точках A и C соответственно; в) угол ABC опирается на дугу AC, отсюда можно сделать вывод, что на этом рис.№1 угол ABC – вписанный угол. Углы с рисунков №2 и №3 также являются вписанными, потому что названные выше аспекты подходят к этим углам. Учитель: Какой же общий итог можно подвести по всем трем рисункам?
Ученики: На всех трех рисунках изображены вписанные углы, в независимости от их расположения. Учитель: Хорошо, а теперь давайте вместе, обобщив полученные данные, сформулируем определение вписанного угла.
Ученики: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Учитель: Так, а теперь я хотела бы вам немного усложнить задачу. Что изображено на данном рисунке?
Ученики: Дана окружность, два вписанных угла, которые опираются на одну и ту же дугу. Учитель: А как вы определили, что эти углы вписанные?
Ученики: Так как вершины углов лежат на окружности, а стороны углов пересекают окружность и оба они опираются на одну и ту же дугу. Учитель: Хорошо, а теперь давайте возьмем транспортир и измерим оба этих угла и скажите полученный результат
Ученики: Угол 1 равен 50 о и угол 2 равен 50 о , отсюда следует, что угол 1 равен углу 2. Учитель: Так значит, какой мы можем сделать вывод, анализируя вышесказанное.
Ученики: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны Учитель: Хорошо, с этой задачей вы справились успешно, но теперь я бы хотела предложить вам еще одну задачу:
Что вы видите на этом рисунке? Ученики: Дана окружность, в окружность вписан угол MNR, он опирается на дугу MR – она является полуокружностью. Учитель: Теперь измерьте данный угол MNR.
Ученики: Угол MNR равен 90 о , он прямой. Учитель: Какой вывод вы можете сделать?
Ученики: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой. Учитель: Итак, посмотрите, оказывается, сколько частных эвристик вписанного угла мы с вами сегодня открыли. А теперь давайте запишем понятия, которые мы с вами определили: 1. Определение вписанного угла; 2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. 3. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
III. Рефлексивно – оценочная часть Учитель: Какая учебная задача стояла перед нами? Достигли ли мы ее?
Ученики: Да, мы сформулировали определение вписанного угла. Учитель: Чтобы легче запомнить определение выделим его существенные части: угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность Учитель: Какой новый изученный термин появился?
Ученики: Вписанный угол Учитель: В каком случае говорят, что угол является вписанным?
Ученики: Если вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Учитель: Так, а теперь договоримся обозначать вписанные углы также как и обычные, то есть угол ABC или угол B (по вершине угла) После этого можно предложить учащимся упражнения на распознавание вписанных углов (подведение под понятие) Выберите вписанные углы. Ответ обоснуйте.
Углы ABC(№1), MNK(№3),DRQ(№6) – вписанные, так как вершины этих углов лежат на окружности, а стороны пересекают окружность; Угол AOC(№2) – не вписанный, так как его вершина не лежит на окружности, угол AOC – центральный (по определению); Угол RPC(№4) – не вписанный, так как его вершина (так же как на рис.№2) не лежит на окружности; Угол MRK (№5) – не вписанный, так как его стороны не пересекают окружность. Учитель: Так, а теперь давайте подведем итоги нашего урока и сделаем выводы.
Ученики: Мы узнали, что такое вписанный угол и по каким признакам можно выделить этот угол среди остальных углов, то есть угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, кроме того мы рассмотрели частные случаи вписанного угла: 1. вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны; 2. вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой
Технология изучения теоремы
Теорема об измерении вписанного угла
Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Пусть угол АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС. Докажем что, АВС = ½ дуги АС. Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.
- Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС (рис.1). В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому АОС = дуге АС. Так как угол АОС – внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, АОС = 1 + 2 = 2* 1 Отсюда следует, что 2* 1 = дуга АС или АВС = 1 = ½ дуги АС
- Луч ВО делит угол АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (рис. 2). Точка D разделяет дугу АС на две дуги: АD и DС. По доказанному в пункте 1) АВD = ½ дуги АD, DВС = ½ дуги DС. Складывая эти равенства попарно, получаем: АВD + DВС = ½ дуги АD + ½ дуги DС или АВС = ½ дуги АС
- Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла (рис. 3). В этом случае дуга АС = дуга АD – дуга СD АВС = АВD – СВD = ½ дуги АD – ½ дуги СD = ½ (АD – СD ) = ½ дуги АС, т.е. АВС = ½ дуги АС
I. Анализ формулировки
Формулировка теоремы носит условную форму, она записана в словесной форме.
– Условие: Вписанный угол
– Заключение: Измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Теорема простая, так как ее условие состоит из 1-ой части и заключения.
II. Логический смысл теоремы
Теорема выражает свойство вписанного угла, которое позволяет, с одой стороны измерять вписанный угол, с другой стороны измерять дугу, на которую он опирается.
III. Формулировка обратного, противоположного и противоположного обратному предложений.
Сформулировать однозначно обратное утверждение нельзя. В частном случае:
- Если угол, вершина которого лежит на окружности, измеряется половиной дуги на которую он опирается, то такой угол вписанный
- Если угол вписанный, то он измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Если угол не равен половине дуги, на которую он опирается, то он не вписанный.
IV. Анализ доказательства
Общая идея доказательства сводится к доказательству равенства углов треугольника. Доказательство методом полной индукции. Теоретический базис доказательства состоит из определения вписанного угла, равенства углов треугольника.
V. Исследование математической ситуации, рассмотрение всех возможных случаев
В доказательстве теоремы приведены 3 возможных случая расположения луча ВО относительно АВС, но сводящееся в теореме к равенству АВС = ½ дуги АС.
Три частных случая расположения луча ВО:
- Луч ВО совпадает с одной из сторон АВС
- Луч ВО делит АВС на два угла
- Луч ВО не делит АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла
Рассматриваемая теорема “порождает” следствия:
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
VI. Установление связи теоремы с ранее изученным, ее роль в построении курса.
Теорема применяется для нахождения градусной меры вписанного угла, на комбинации окружности и многоугольника (вписанного в окружность), а это в свою очередь находит применение при решении задач.