Работа силы Ампера. Сила Ампера. проводящий ползунок AC, которому

1 Работа силы Ампера Напомню, что сила Ампера, действующая на элемент линейного тока, дается формулой (1) Посмотрим на рисунок По двум неподвижным горизонтальным проводникам (рельсам) может свободно перемещаться проводящий ползунок AC, которому соответствует вектор Все проводники образуют замкнутую цепь с током, помещенную в магнитное поле Положительное направление обхода указано стрелками на проводниках, и ему соответствует направление нормали к поверхности, натянутой на контур, показанное на рисунке вектором площади («на нас») 1 Вектор задает положение ползунка, скорость которого Будем считать поле однородным, тогда интегрирование соотношения (1) по отрезку дает (2) Если ток положителен и направление магнитного поля совпадает с направлением нормали, 2 то эта сила (см рис) направлена вправо Еще заметим, что (3) При движении проводника сила Ампера производит работу Поскольку мы считаем поле однородным, то скалярное произведение есть поток вектора магнитной индукции, и производимую силой Ампера элементарную работу можно переписать так: (4) Пусть поток вектора в начальный, а в конечный моменты времени Тогда полная работа силы Ампера при постоянном токе есть Сила Ампера Элементарная работа силы Ампера 1 Напомню, что 2 На рисунке поле тоже направлено «на нас», но все последующие формулы верны для произвольного направления вектора 1

2 (5) Формулы (4) и (5) для работы силы Ампера, выраженной через изменение потока магнитной индукции, оказываются справедливыми при любой деформации контура с током в магнитном поле На нашем рисунке при выбранных направлениях поля и обхода контура и при положительном токе работа силы Ампера положительна, если проводник движется вправо При этом, как легко проверить, поток магнитной индукции увеличивается, так что положительной оказывается и работа, вычисленная по формулам (4) и (5) Наша картинка показывает, как энергия источника тока преобразуется в механическую работу, однако это еще не двигатель нет цикличности процесса Впрочем, это легко исправить, например, изогнув полозья так, чтобы получилось движение по окружности Если чуть-чуть задуматься о наших результатах, то неминуемо возникнет следующий вопрос Сила Лоренца не может совершать работу, сила Ампера сумма сил Лоренца, действующих на носители заряда Как же получается, что она совершает работу? Ответ очень прост Если проводник движется, то в силу Ампера входят только части сил Лоренца В самом деле, это, где скорость заряда вдоль проводника с током (в нашем случае ), но есть еще другая составляющая силы Лоренца, где скорость движения проводника Суммарная работа этих двух составляющих равна нулю В самом деле, используя свойство смешанного произведения, имеем Сила направлена на нашем рисунке вправо, она и дает вклад в силу Ампера (см рисунок) А что же делает сила? Если считать, что носители тока имеют положительный заряд, то она направлена вниз, а поскольку в этом случае скорость направлена в ползунке вверх (по току), то эта сила препятствует току, ее работа отрицательна 1 Источнику ЭДС для поддержания тока приходится компенсировать эту работу Как мы видим, сила Лоренца играет хитрую роль: она одной «рукой» забирает энергию у источника ЭДС, а другой совершает механическую работу Работа силы Ампера Отрицательная работа силы Лоренца Роль силы Лоренца 1 Если заряд носителей тока отрицателен (электроны), то изменяется как направление силы, так и скорости, поэтому все выводы остаются такими же 2

3 Электромагнитная индукция ЭДС индукции при движении проводника в магнтном поле «Вредная» для двигателя часть силы Лоренца представляет собой не что иное, как стороннюю силу, приводящей к отрицательной ЭДС Несколько изменим рисунок: уберем источник тока, явно укажем сопротивление и приложим внешнюю силу, под действием которой ползунок приходит в движение Его скорость, как и раньше, обозначим Мы сохраняем все остальные условия предыдущего параграфа, так что поток вектора магнитной индукции увеличивается На носитель заряда действует сила Лоренца, это сторонняя сила и ее поле есть ЭДС этой силы называется ЭДС индукции и вычисляется по определению: (6) Эта формула полезна во многих случаях В частности, если скорость перпендикулярна полю, то можно написать, (6а) где знак определяется по формуле (6) или с использованием правила Ленца, о котором мы поговорим чуть позже Однако продолжим цепочку вычислений (6) [ ] Сила Лоренца сторонняя сила ЭДС индукции 3

4 Итак, (7) Знак «минус» соответствует тому, что ЭДС индукции включена против выбранного положительного направления обхода контура 1 Ток индукции также направлен в отрицательную сторону Раз по контуру протекает ток, то возникает ситуация «проводник с током в магнитном поле», рассмотренная в предыдущем параграфе, стало быть, появляется сила Ампера, показанная на рисунке пунктирной линией 2 Эта сила направлена против внешней силы, вызывающей движение ползунка, тем самым препятствуя причине вызывающей ток индукции Этот вывод обобщает правило Ленца Индукционный ток всегда направлен так, чтобы препятствовать причине, его вызывающей Движение проводника первоначальная причина, но оно приводит к изменению потока магнитной индукции Проверьте, что создаваемое индукционным током поле препятствует этому изменению Можно сказать, что знак «минус» в формуле для тока индукции (8) математически отображает правило Ленца Пусть теперь в магнитном поле перемещается рамка с током как целое со скоростью На рисунке показана простейшая ситуация, и видно, что если магнитное поле однородное, то полная ЭДС индукции равна нулю: 3 В неоднородном же поле для этого случая получаем (см (6а)) (8) Закон Фарадея Индукционный ток Правило Ленца 1 Если, конечно, поток магнитной индукции увеличивается, как в нашем примере 2 Ее направление противоположно направлению силы Ампера предыдущего параграфа потому, что ток индукции отрицателен 3 ЭДС индукции на нашей картинке наводится только в проводниках длиной 4

5 Вычислим теперь производную по времени от потока магнитной индукции, учитывая, что : Сравнивая два последних равенства, убеждаемся, что опять выполняется закон Фарадея (7) Можно показать, что он справедлив и при произвольной форме контура с током В обоих рассмотренных случаях в роли сторонней силы выступает сила Лоренца Пусть в контуре, движущемся со скоростью в неоднородном поле, горит лампочка Ясно, что она будет гореть и для наблюдателя, движущегося вместе с контуром Иначе говоря, перейдем в ИСО, привязанную к этому контуру Раз лампочка горит, значит и в этой ИСО есть ЭДС индукции, но ведь в ней контур неподвижен, и нет никаких сил Лоренца! Изменение потока магнитной индукции есть, потому что поле меняется во времени, но само это изменение не может быть причиной возникновение ЭДС, нужна сторонняя сила Приходится признать, что для возникновения ЭДС в неподвижном контуре, пронизываемом изменяющимся во времени магнитным полем, должна быть сила, действующая на заряды, но которую мы пока не знаем Что это за сила объясняет первое положение теории Максвелла Любое изменяющееся во времени магнитное поле порождает в пространстве изменяющееся во времени вихревое электрическое поле такое, что циркуляция его по любому контуру определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через любую поверхность, границей которой служит этот контур: (9) Если контур неподвижен и не деформируется, то (10) Здесь контур воображаемый, «вспомогательный», но если он совпадает с реальным проводящим контуром, то сразу получается закон Фарадея, поскольку вихревое электрическое поле и есть то поле сторонней силы, кото- 5 1-ое положение теории Максвелла Вихревое электрическое поле как поле сторонней силы

6 рое нам было необходимо для объяснения явления электромагнитной индукции в покоящемся контуре: Таким образом, в зависимости от выбора ИСО в роли сторонней силы явления электромагнитной индукции может выступать либо сила Лоренца (двигающийся проводник), либо сила, действующая на заряд со стороны вихревого электрического поля (покоящийся контур) 1 В любом случае справедлив закон Фарадея (7) Как видно из уравнения (8), сила со стороны вихревого электрического поля может совершать работу по замкнутому контуру Применим к левой части уравнения (10) теорему Стокса: Две стороны одной медали, так что это уравнение примет вид, и (в силу произвольности поверхности интегрирования) получаем (11) Вспомним еще теорему Гаусса (12) и, применив к левой ее части теорему Остроградского Гаусса, Уравнение Максвелла (эм индукция) получим, Опять же в силу произвольности, но теперь объема интегрирования, получаем (14) Уравнение Максвелла (источники поля) 1 Либо их комбинация 6

7 Уравнения (11) и (14) входят в систему уравнений Максвелла и описывают возникновение электрического поля Они же в интегральной форме даются формулами (10) и (12) Вместо уравнения (14) часто используется уравнение, получающееся в точности так же из теоремы о потоке вектора электрического смещения Самоиндукция Вернемся к контуру с током (при обсуждении этих вопросов его часто называют «витком с током») и посмотрим, что будет происходить, если ток в нем изменяется Ток создает магнитное поле, и, конечно есть поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную рассматриваемым контуром Этот поток пропорционален протекающему току: 1 (15а) Коэффициент называется индуктивностью или коэффициентом самоиндукции и определяется только свойствами самого контура (его геометрией, материалом) При изменении тока возникает ЭДС, которая в данном случае называется ЭДС самоиндукции Явлением самоиндукции называется появление ЭДС индукции в контуре за счет изменения тока в нем самом Для ЭДС самоиндукции из закона Фарадея получаем (16) Витки с током обычно оказываются соединены последовательно, когда провод наматывают на катушку Пусть площадь витка есть, полное число витков равно, а их плотность (число витков на единицу длины ) (17) Магнитное поле внутри длинного соленоида с обмоткой мы уже вычислили: (18) Индуктивность контура Явление самоиндукции ЭДС самоиндукции 1 Здесь и далее мы считаем, что нет каких-либо ферромагнитных материалов 7

8 Благодаря однородности поля поток через один виток вычисляется легко Можно было бы вычислить ЭДС самоиндукции в одном витке, а затем умножить ее на полное число витков Однако, чтобы сохранить соотношение (16), поступают по-другому Назовем потокосцеплением величину и несколько изменим определение индуктивности (15а), полагая (15б) Тогда для катушки справедлива формула (16), но для определения индуктивности нужно вычислить потокосцепление Сравнивая последнее равенство с определением (15), видим, что индуктивность соленоида есть Потокосцепление Определение индуктивности в общем случае Индуктивность соленоида или, учитывая (17), (19) где объем соленоида Энергия магнитного поля Любой контур с током (в том числе, конечно, и катушка) обладаут некоторой энергией Это следует из следующего опыта В некоторый момент времени отключим источник ЭДС, замкнув при этом контур Ток не прекратится мгновенно, а некоторое время его будет поддерживать ЭДС самоиндукции Запасенную энергию можно вычислить как работу, которую совершает ЭДС индукции при изменении тока от начального значения до нуля Элементарная работа есть так что запасенная энергия определяется интегрированием:, Энергия контура с током 8

9 Попробуем переписать это выражение так, чтобы в него не входили ни ток, ни индуктивность 1 Для этого выразим эти величины через другие параметры с помощью сосоотношений (18) и (19) соответственно Получим Скоро мы убедимся, что вся эта энергия действительно заключена в магнитном поле Наиболее общая формула для плотности энергии магнитного поля выглядит так:, а магнитная энергия, заключенная в объеме пространства, находится интегрированием по этому объему: Плотность энергии магнитного поля Энергия магнитного поля Взаимная индукция Взаимной индукцией называется явление возникновения ЭДС индукции в одном контуре при изменении тока в другом У магнитного поля, создаваемого током, есть поток 2 магнитной индукции через первый контур, пропорциональный этому току, Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом взаимной индукции В первом контуре наводится ЭДС индукции Аналогично, во втором контуре наводится ЭДС индукции при изменении тока в первом контуре:, где коэффициент взаимной индукции определяет поток магнитной индукции поля, создаваемого первым током, через второй контур: Взаимная индукция Коэффициент взаимной индукции 1 Подобным образом мы уже действовали при обсуждении энергии конденсатора в лекции 4 2 В общем случае надо говорить о потокосцеплении 9