Задачи с параметрами разбиваются на два типа. Первый тип: "найти все решения некоторого уравнения или нера­венства", второй: "найти все значения параметра, при

Задачи с параметрами разбиваются на два типа. Первый тип: "найти все решения некоторого уравнения или нера­венства", второй: "найти все значения параметра, при которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям." Напри­мер, задача "Решить уравнение относительно х ( а - 4) х = а + 2 " от­носится к первому типу, задача "Найти целые решения уравнения х ( а - 4) = а + 2 " - ко второму.

Методика обучения решению задач с параметрами состоит из трех этапов. Первый этап - подготовительный, второй - рассмотрение примеров решений задач с параметрами, третий - непосредственное ре­шение задач в следующей последовательности: решение за­дач первого типа, затем - второго.

На первом этапе осуществляется специальная подготовка учащихся посредством определенного блока задач, решение которых базируется на изученном ранее материале.

Первый этап: для подготовки учащихся к решению линейных урав­нений с параметром следует повторить решение конкретных линейных уравнений вида:

З х = 6, 2 х - 3 + 4( х - 1) = 5, 0 х = 7, 2 х - 3 + 2( х - 1) = 4(1 - х ) + 5, 0 х = 0 , 2 х + 3 - 6( х - 1) = 4(1 - х ) + 5.

При ана­лизе результатов решения этих частных случаев выясняются соответству­ющие логические условия, от выполнения которых зависит разнообра­зие результатов. Это можно показать с помощью наглядной таблицы

Линейные уравнения имеют три различных типа результатов:

Р 1 - единственное решение;

Р 2 -отсутствие решений;

Р 3 - бесконечное множество решений.

Таблица дает возможность перейти от решения частных задач к описа­нию алгоритма решения класса задач (линейных уравнений).

Уравнение, записанное в виде ах = b , будем называть стандартным.

Учащимся предлагается задание: "Привести уравнения к стандартному виду".

1) а х + 5 = 4 х - 8;

2) х + а - 4 ах = 7;

3) 8 а 2 - х = 4( х - а );

4) 3 b - 3 = 2 х ( b - 4);

5) З с - 8 х = х - 3;

6) 2 а ( х + 5) = х ( а - 4);

7) - 2( х - а) + 2 х = 3( х + а) - 4 а + 3 ;

8) а ( х - 1) = З х - 3;

9) (2 - а )(2 + а) + З х = 1 + 2 а 2 х ;

10) - 3 + 2 а + х = а 2 + 1 - 2 а.

Второй этап: Рассматриваются примеры решения уравнений с пара­метром.

Пример 1. Решить уравнение: х - 4 = ах .

1 шаг: приведем уравнение к стандартному виду

х - ах = 4, х (1 - а ) = 4.

2 шаг: рассмотрим два случая:

1) если 1 - а 0, то ;

2) если 1 - а = 0, то стандартное уравнение принимает вид: 0 х = 4 -

уравнение решений не имеет.

3 шаг: Запишем ответ. При записи ответа важно отразить все этапы решения.

Ответ : если а 1 то х = 4/(1 - а );

если а = 1, то нет решения.

Замечание . Ответ можно записать и в следующем виде:

х = 4/(1 - а ), при а 1; нет решений при а = 1.

ВЫВОД: решить уравнение (неравенство) с параметром - значит для любого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения (неравенства).

При подборе линейных уравнений (неравенств) с параметром необхо­димо относительно а , b рассмотреть случаи: а) а - многочлен относи­тельно параметра, b -число; б) а - число, b - многочлен относительно параметра;

в) а и b многочлены относительно параметра.

В зависимости от класса многочлены могут быть разных степеней.

Пример 2 . Решить уравнение относительно х : 4 х + 1 = а .

Ответ : , а - любое.

Пример 3 . Решить уравнение относительно х : 4 х + 1 = а -1

2) если а = 0, то решений нет.

Ответ : если а 0, то ; если а = 0, то решений нет.

Пример 4 . Решить уравнение относительно х : ( а + 1) х = а + 1 .

1) а + 1 0, при а - 1, х = 1;

2) а + 1 = 0, при а = - 1, уравнение принимает вид 0х = 0, решением его является любое число.

Ответ : х = 1 при а - 1; х - любое при а = - 1.

Пример 5. Решить уравнение относительно х : b 2 х - 7 = 49 х + b .

1 шаг: приведем уравнение к стандартному виду:

b 2 х - 49 х = b + 7,

х ( b 2 - 49) = b + 7,

х ( b - 7)( b + 7) = b + 7 .

2 шаг: рассмотрим два случая:

1) ( b — 7)( b + 7) 0, то есть b 7 , b - 7 :

а) b = 7, то стандартное уравнение принимает вид 0 х = 14 - решений нет;

б) b = - 7, то стандартное уравнение принимает вид 0 х = 0, х - любое.

Ответ : при b 7 , b - 7 ;

решений нет при b = 7 ;

x - любое при b = - 7.

При решении неравенств важно помнить, что при делении неравенст­ва на положительное число знак неравенства сохраняется, а при делении на отрицательное - меняется на противоположный.

Пример 6 . Решить неравенство ах - 2 х > 4 относительно х .

1 шаг: Приведем неравенство к стандартному виду

ах - 2 х > 4, ( a - 2) > 4.

2 шаг: Рассмотрим три случая а - 2> 0 , а - 2 0, а - 2 = 0.

1) если а- 2>0, а >2, то x > .

2)если а- 2 х а - 2 = 0, а = 2,то стандартное неравенство примет вид 0 х > 4, оно не имеет решений.

Ответ : при а > 2 , x > ;

при а х а = 2 нет решений.

Пример 7 . Решить неравенство 4 х > 2 х + а + 1 относительно х .

4 х - 2 х > а + 1, 2 х > а + 1 - стандартный вид.

Ответ : х > при любом а .

Линейные уравнения и неравенства.

Приведем уравнение к стандартному виду

2) а . .. , то стандартное уравнение примет вид х . = - 1, уравнение .

Ответ : при а . х = ;

б) 3( х + а ) = 2( х - 4).

Приведем уравнение к стандартному виду З х + З а = 2 х - 8,

в) ( а - 4) х = а 2 - 16.

1) а - 4 0, то есть а 4 , то х = а + 4 ;

2) а - 4 =. то есть а =. то уравнение принимает вид . х =.

Ответ : если а . , то х = а - 4 ;

12. В уравнении ( с - 2) х = с 2 - 4 замените параметр с числом:

а) с = 1; б) с = 2; в) с = 4. Найдите корни полученного уравнения.

13. При каком значении параметра b прямая у = 2 х + b проходит через точку

14. При каком значении параметра а прямая у = З х - 4 a проходит через точку

15. Указать, при каких значениях параметра а уравнение ах + 7 = 2 х + 3 имеет

корень, равный а) 1; б) 2 ?

16. Найдите корни уравнения ( b 2 - 9) х = b - 3 при :

а) b = 1; б) b = 3 ; в) b = - 3 .

Решить уравнения относительно х .

17. сх + 3 = х ; 21. ( а - 1) х + 2 = а + 1 ;

18. b х = 4; 22. а 2 х = 9 х + 3 + а ;

19. х - 4 = с ; 23. с 2 х- 4 = 16 х + с ;

20. З х - 1 = а + 2 х + 3; 24. а ( х - 1) = З х - 3;

25. b ( b + х ) = 49 - 7 х.

Решить неравенства относительно х .

26. b х >2 ; ЗЗ .ах + 5 + а;

27. - ах > З х + 4; 34. х + 2 > ах ;

28. ах + 3 > ах ; 35. ( х + 2 а ) + ( х - а ) а ;

29. х > х - а ; 36. ( х - З а ) + ( х - а ) а ;

30. х + с с 2 х - 2>4 х + с ;

З1. ах >2 + х ; 38. b 2 х - b > 25 х + 5;

32. 2 х - 2> х - 2; 39. а ( а + х ) > 16 - 4 х ;

40. х + а 2 > х + а 2 .

41. При каком целом значении параметра b уравнение b х + 2 = 0 не имеет

42. Найдите значения а, при которых корень уравнения

2( х - 3) - а = x + 8 является положительным числом; отрицатель­ным

43. При каких целых значениях b уравнение ( b - 1) х = 19 - (12 - х ) имеет

44. При каких значениях а уравнение 5( х - 1) - 3( а - 2) = 5 имеет ко­рень,

принадлежащий промежутку 1 х с, при которых корень уравнения сх - 3 = 4(2 - х ) являет­ся целым

46. При каких а уравнение ( а 2 - 5 а + 6) х = а - 2

1) не имеет корней;

2) корнем является любое число?

47. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

4 х + 8 а = 8 + 2 х + З а имеет корень, больший 1.

48. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

6 - З а + 14 х = 12 х + З а имеет корень, меньший 1.

49. При каком значении параметра а уравнение ах - 4 = З х имеет ко­рень,

50. Указать, при каких значениях параметра а уравнение

0,5 (5 х - 1) = 4,5 - 2 а ( х - 2) имеет бесконечное множество ре­шений.

51. При каком значении с среди решений неравенства сх 5 есть реше­ние,

52. При каком значении а среди решений ах > - 3 есть решение, равное 8?

53. При каком значении b неравенство b х - 3 > b - З х имеет решения х >1 ?

54.При каком значении а неравенство ах - 4 х имеет бесконечное

55. Для какого значения b неравенство 2 х > 8 - b х не имеет решений ?

56. Для какого значения b неравенство b х - 4 > b - 4 х имеет решения х Подготовительный этап: Повторить методы решения систем линейных уравнений: подстановки, сложения, графический.

Можно разобрать следующие задачи:

1. Объясните, почему система уравнений не имеет решений

2. Объясните, почему система уравнений имеет бесконечное множество

3. Объясните, почему система имеет единственное решение

4. Решите графически систему уравнений, если известно, что первое уравнение этой системы обращается в верное равенство при х = 5, у = - 3

ВЫВОД: При решении системы линейных уравнений возможны три ситуации: система имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений.

Повторенные способы решений систем линейных уравнений вполне пригодны для решения систем линейных уравнений, содержащих пара­метр.

Второй этап: Можно предложить учащимся схему решения систем линейных урав­нений, содержащих параметр, методом подстановки.

1. Выразить у через х из одного уравнения системы.

2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение сис­темы.

3. Решить полученное уравнение с параметром относительно х .

4. Найти у , используя результаты третьего и первого шагов.

5. Записать ответ.

Пример 10. Для каждого значения параметра а решить систему

1 шаг: Выразим из первого уравнения у через х :

2 шаг: Подставим найденное значение во второе уравнение:

3 шаг: Приведем уравнение к стандартному виду:

1) при а - 1 0, то есть, а 1, ;

2) при а - 1 = 0, то есть, а = 1 , стандартное уравнение примет вид

0 х = 1 - нет решений.

4 шаг: Найдем у, используя результаты третьего и первого шагов

2) если а = 1, то у не существует

Ответ : если а 1, то ;

если а = 1, то решения нет.

При решении этой системы можно было воспользоваться методом алгебраического сложения.

Пример 11. Найти все значения параметра а , при каждом из которых система имеет бесконечное множество решений

Первый способ (метод подстановки).

1. Из первого уравнения выразим х :

2. Подставим это выражение во второе уравнение, получаем

, далее умножим обе части уравнения на 3 и уп­ростим его За - а 2 у + 9у = 9 у(а 2 - 9) = 3(а - 3) .Анализи­руя последнее уравнение, отметим, что при а = 3 оно имеет вид 0 у = 0, решением этого уравнения является любой у, следовательно, при най­денном а и система имеет бесконечно много решений.

Ответ : при а - 3 система имеет бесконечное множество решений.

Система линейных уравнений имеет бесконечное множество реше­ний тогда и только тогда, когда коэффициенты при неизвестных и сво­бодные члены пропорциональны, то есть имеем : 3/ а = а /3 = 3/3 , от­куда следует а = 3 .

Пример 12. Найдите все значения параметра а , при которых система

уравнений не имеет решений.

Эту систему можно решать также двумя способами. Рас­смотрим второй способ.

Данная система не имеет решений тогда и только тогда, когда

1) Из уравнения находим : а 2 = 1, откуда имеем а = 1, а = - 1,

2) Из уравнения а /1 = а /(2 а - 1) имеем 2 а 2 - 2 а = 0 2 а ( а - 1) = 0 а = 0 ,

Из пунктов 1) и 2) имеем

и находим, что а = - 1.

Ответ : при а = - 1 система не имеет решений.

Пример 13. Найти все значения к , при которых система имеет

Предложить учащимся решить эту систему методом подстановки, а затем разобрать второй способ.

Для того ,чтобы линейная система двух уравнений с двумя неизвестными имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, от­вечающие уравнениям пересекались, то есть, чтобы было выполнено

условие: . откуда получаем к 2 4,т.е. к 2, к - 2. Следовательно, условию задачи удовлетворяют все значения параметра к, кроме к = 2,

Ответ : при к 2, к - 2 система имеет единственное решение.

Для освоения решения систем линейных уравнений вторым спосо­бом необходимо в классе иметь справочную таблицу (таблица 1).