Следствия из преобразований Лоренца

1. Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе К в точках с координатами x 1 и x 2 в моменты времени t 1 и t 2 происходят два события. В системе К' им соответствуют координаты и и моменты времени и . Если события в системе К происходят в одной точке ( x 1 =х2) и являются одновременными ( t 1 = t 2), то, согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

т. е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе К пространственно разобщены (х1 ¹ x 2), но одновременны ( t 1 = t 2), то в системе К', согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Таким образом, в системе К' эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными. Знак разности определяется знаком выраже­ния v ( x 1 – x 2), поэтому в различных точках системы отсчета К' (при разных v ) разность будет различной по величине и может отличаться по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Сказанное, однако, не относится к причинно-следственным событиям, так как можно показать, что порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке (с координатой х), покоящейся относительно системы К, происходит событие, длитель­ность которого (разность показаний часов в конце и начале события) t = t 2 – t 1, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К'

причем началу и концу события, согласно (36.3), соответствуют

Подставляя (37.2) в (37.1), получаем

Из соотношения (37.3) вытекает, что t < t ', т. е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолкован следующим образом: интервал времени t ', отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала t , отсчитанного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т. е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся. На основании относительности понятий «неподвижная» и «движущаяся» системы соотношения для t и t ' обратимы. Из (37.3) следует, что замедление хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости распространения света в вакууме.

В связи с обнаружением релятивистского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадокса часов» (иногда рассматривается как «парадокс близнецов»), вызвавшая многочисленные дискуссии. Представим себе, что осуществля­ется фантастический космический полет к звезде, находящейся на расстоянии 500 световых лет (расстояние, на которое свет от звезды до Земли доходит за 500 лет), со скоростью, близкой к скорости света ( =0,001). По земным часам полет до звезды и обратно продлится 1000 лет, в то время как для системы корабля и космонав­та в нем такое же путешествие займет всего 1 год. Таким образом, космонавт возвратится на Землю в раз более молодым, чем его брат-близнец, оста­вшийся на Земле. Это явление, получившее название парадокса близнецов, в дейст­вительности парадокса н t содержит. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправиль­ность рассуждения состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами, не эквивалентны: земная система инерциальна, а корабельная — неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реальным и получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабильных, самопроиз­вольно распадающихся элементарных частиц в опытах с p -мезонами. Среднее время жизни покоящихся p -мезонов (по часам, движущимся вместе с ними) t » 2,2 × 10 –8 с. Следовательно, p -мезоны, образующиеся в верхних слоях атмосферы (на высоте » 30 км) и движущиеся со скоростью, близкой к скорости с, должны были бы прохо­дить расстояния с t » 6,6 м, т. е. не могли бы достигать земной поверхности, что противоречит действительности. Объясняется это релятивистским эффектом замедления хода времени: для земного наблюдателя срок жизни p -мезона t ' = t / , а путь этих частиц в атмосфере v t ' = b c t ' = b c t / . Так как b » 1, то v t '>> c t .

3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и покоящийся относительно системы К'. Длина стержня в системе К' будет , где и — не изменяющиеся со временем t ' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К' стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v . Для этого необходимо измерить координаты его концов x 1 и x 2 в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность l = х2 – х1 и определяет длину стержня в системе К. Используя преобразования Лоренца (36.3), получим

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выражению (37.4).

Из выражения (37.4) следует, что линейный размер тела, движущегося отно­сительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в раз, т. е. так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (36.3) следует, что

т. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение материальной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоро­стью v . Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами х, у, z , а в системе К' в момент времени t ' — координатами х', у', z ', то

представляют собой соответственно проекции на оси х, у, z и х', у', z' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К'. Согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Произведя соответствующие преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:

Если материальная точка движется параллельно оси х, то скорость и относительно системы К совпадает с ux , а скорость и' относительно К' — с . Тогда закон сложения скоростей примет вид

Легко убедиться в том, что если скорости v , и' и и малы по сравнению со скоростью с, то формулы (37.5) и (37.6) переходят в закон сложения скоростей в классической механике (см. (34.4)). Таким образом, законы релятивистской механики в предельном случае для малых скоростей (по сравнению со скоростью распространения света в вакууме) переходят в законы классической физики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.

Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна. Действительно, если u ' = c , то формула (37.6) примет вид (аналогично можно показать, что при и = с скорость u ' также равна с). Этот результат свидетельствует о том, что релятивистский закон сложения скоростей находится в со­гласии с постулатами Эйнштейна.