2. Краткая суть параметрического способа.

В данном способе уравнивания устанавливается связь между измеренными величинами и определяемыми.

В нивелирных сетях измеряемыми являются приращения, а определяемыми – высоты пунктов.

Если измерено превышение hмежду пунктами 1 и 2 то, зная приближенные высоты и этих пунктов, можно записать следующее уравнение связи между измеренным превышением и поправками в приближенные высоты

Тогда уравнение поправок превышений будет

Уравнения поправок в общем случае можно записать следующим образом

Если ввести матричные обозначения

то система уравнений поправок примет вид

Алгоритм уравнивания параметрическим способом заключается в следующем:

а) составляется система уравнений поправок

б) вычисляется матрица нормальных уравнений

в) находится вектор параметров и оценивается его точность

2.2. Решение задачи.

На схеме сети приведены высоты HA,HB,HC исходных реперовА, В, С, суммы измеренных превышенийhпо ходам и длины ходов в километрах. Направления ходов показаны стрелками. Выберем в качестве необходимых неизвестных высоты узловых точек 1, 2, 3. Выразим их через приближенные значения и поправки:

Найдем приближенные значения неизвестных:

Составим уравнения поправок вида

Из рис.1 следует

Последнее числа – это свободные члены, выраженные в миллиметрах. Например, для v4находим

Составим схему 1 с коэффициентами при неизвестных

Столбец Siнеобходим для контроля составления нормальных уравнений. В последнем столбце записываем веса превышений по ходам, как величины обратные длинам ходов. В данном случае за единицу веса можно принять вес суммы превышений хода длиной 5 км. Тогда и т.д.

Столбец viи строкаδхjпока остаются свободными.

Далее вычисляем коэффициенты нормальных уравнений вида (16) с контролем методом сумм (схема 2).

На схеме записаны коэффициенты нормальных уравнений, начиная с квадратичных. При контроле суммируют коэффициенты, стоящие в одном столбце и строке с квадратичными. Например, для третьего уравнения получим –2,3–2,8+7,1–304,8=302,8. Эта сумма точно равна [pcS] и в графе «контроль» ставится 0.

Решение нормальных уравнений выполним по способу Гаусса (схема 3)

δx1=–11,502

δx1=–35,714

Практически задача решается так. Выписываем на схему коэффициенты первого уравнения из таблицы 2 и делим их на квадратичный коэффициент с обратным знаком. Получаем первое элиминационное уравнение (подчеркнуто), контролируем вычисления. Находим преобразованные коэффициенты второго уравнения по правилам раскрытия алгоритма Гаусса:

0,397·(–3,1)+10,9 = 9,67; 0,397·(–2,3)–2,8 = –3,71;

0,397·144,7+160,1 = 217,55; 0,397·147,1+165,1 = 233,50.

Контролируем вычисления. Делим полученные коэффициенты на квадратичный 9,67 с обратным знаком. Получаем второе элиминационное уравнение (подчеркнуто).

Находим преобразованные коэффициенты третьего уравнения:

Контролируем вычисления. Находим коэффициенты третьего элиминационного уравнения. В целях контроля раскрываем алгоритмы Гаусса [pll·3], [plS·3] и [pSS·3]. Получаем соответственно 6792,70; 6792,53 и 6792,18.

Теоретически эти числа должны быть равны. Однако за счет округления коэффициентов могут быть небольшие расхождения. В данном случае сходятся первые 4 цифры, что вполне достаточно.

Последнее эллиминационное уравнение можно записать так –δх3+35,714=0. Отсюдаδх3=35,714.

Подставляя δх3 во второе элиминационное уравнение, найдемδх2 = –8,783. Подставляяδх3иδх2 в первое элиминационное уравнение, найдемδх1= –11,502. Для заключительного контроля подставимδх1,δх2иδх3в первое уравнение: 7,8·(–11,502)–3,1·(–8,783)–2,3·35,714+144,7=0,070. Учитывая, что свободные члены выражены в миллиметрах, такое расхождение вполне допустимо.

Далее вычисляем высоты узловых точек:

Найденные значения δx1,δx2,δx3 переписываем в схему 1, и по формуле (25) вычисляем поправки в измеренные суммы превышений.

Вычисление поправок контролируется по формулам [pav]=0; [pbv]=0; [pcv]=0. В данном случае вместо нулей в правой части получим соответственно: +0,17, –0,13, –0,24, что объясняется округлением поправок.

Для оценки точности результатов измерений вычислим среднюю квадратическую ошибку единицы веса по формуле

где n– число измерений (6);

k– число необходимых неизвестных (3).

По данным схемы 1 получаем [pv 2 ] = 6785. Отметим, что теоретически должны выполняться равенства

[pv 2 ] = [plv] = [pll·3] = [plS·3] = [pSS·3].

В данном случае [pv 2 ] несколько отличается из-за округления поправок. В результате получимμ = 48 мм. С такой средней квадратической ошибкой находится сумма превышений в ходе длиной 5 км. Средняя квадратическая ошибка на 1 км хода составит 21 мм.